微专题系列2——奇偶性的一般化：对称性（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第二章　函　数 微专题系列❷——奇偶性的一般化：对称性 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 分级练(9) 返回导航 第1轮　数学 第二章　函　数 谢谢观看！ 【例1】已知函数f(x)＝ln ( eq \r(1＋x2) －x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________． 答案：－2　解析：根据函数奇偶性的定义可知g(x)＝ln ( eq \r(1＋x2) －x)是奇函数，因此函数f(x)＝g(x)＋1，也即f(x)是由奇函数g(x)向上平移一个单位长度得到．对于奇函数g(x)，有g(a)＋g(－a)＝0，则f(a)＝g(a)＋1，f(－a)＝g(－a)＋1，于是f(a)＋f(－a)＝g(a)＋g(－a)＋2＝2.从而f(－a)＝2－f(a)＝－2. [思维过程] 明确目标→求f(－a). 提取信息→函数f(x)的解析式． 建立联系→从f(x)中分离出奇函数g(x)＝ln ( eq \r(1＋x2) －x)，将问题转化为函数图象平移问题，并结合g(x)图象的对称性求解f(－a)的值． 【练1】已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝ eq \f(x＋1,x) 与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m B　解析：由f(－x)＝2－f(x)知f(x)的图象关于点(0，1)对称，而y＝ eq \f(x＋1,x) ＝1＋ eq \f(1,x) 的图象也关于点(0，1)对称，因此两个函数的交点也关于点(0，1)对称，从而对于每一组对称点xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2， 所以 eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)＝ eq \i\su(i＝1,m,x)i＋ eq \i\su(i＝1,m,y)i＝ eq \f(1,2) (2 eq \i\su(i＝1,m,y)i)＝ eq \f(1,2) eq \i\su(i＝1,m, )(yi＋y′i)＝ eq \f(1,2) ×2m＝m. 【例2】已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 eq \i\su(i＝1,m,x)i＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m B　解析：根据上述轴对称的结论可知f(x)＝f(2－x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，因此它们的交点也关于直线x＝1对称，运用上述中心对称问题的解决方法，每一组对称点的横坐标有xi＋xi′＝2×1，则 eq \i\su(i＝1,m,x)i＝ eq \f(1,2) ×(2 eq \i\su(i＝1,m,x)i)＝ eq \f(1,2) eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋xi′)＝ eq \f(1,2) ×2×m＝m. [思维过程] 明确目标→求两图象交点横坐标之和． 提取信息→f(x)＝f(2－x)及函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点坐标． 建立联系→f(x)＝f(2－x)⇒f(x)图象关于直线x＝1成轴对称，函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1成轴对称，从而它们的交点也关于直线x＝1成轴对称． 【练2】已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D．1 C　解析：函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)是由两个部分构成，即y＝x2－2x和y＝ex－1＋e－x＋1.不难发现，函数y＝x2－2x的图象关于直线x＝1对称．根据奇偶性的构成方式可知y＝ex＋e－x为偶函数，也即关于直线x＝0对称，而y＝ex－1＋e－(x－1)的图象是由y＝ex＋e－x的图象向右平移1个单位长度得到，也即函数y＝ex－1＋e－x＋1的图象关于直线x＝1对称．综上，函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)的图象关于直线x＝1对称．又由于函数f(x)有唯一零点，那么这个零点只能是x＝1(可以类比二次函数有唯一零点