第三章 第三节 第2课时 利用导数证明不等式（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第三章　一元函数的导数及其应用 第三节　导数的综合应用 第❷课时　利用导数证明不等式 栏目索引 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 分级练(22) 返回导航 第1轮　数学 第三章　一元函数的导数及其应用 谢谢观看！ 【例1】(2022·河北保定一模)已知函数f(x)＝ln x＋2，g(x)＝ eq \f(1,a) e2x－ln eq \f(2,a) (a>0). (1)设函数h(x)＝f(x＋1)－x－2，求h(x)的最大值； (2)证明：f(x)≤g(x). (1)解：因为h(x)＝ln (x＋1)－x(x>－1)，所以h′(x)＝ eq \f(1,x＋1) －1＝－ eq \f(x,x＋1) (x>－1). 当x∈(－1，0)时，h′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0. 所以h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，则h(x)max＝h(0)＝0. (2)证明：原不等式等价于φ(x)＝e2x－a ln x－2a－a ln eq \f(2,a) ≥0， 则φ′(x)＝2e2x－ eq \f(a,x) ＝ eq \f(2xe2x－a,x) ，令m(x)＝2e2x－ eq \f(a,x) ，则m′(x)＝4e2x＋ eq \f(a,x2) >0， 所以φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 令t(x)＝2xe2x－a，则t(0)＝－a<0，t(a)＝2ae2a－a＝a(2e2a－1)>0， 所以，存在唯一x0∈(0，a)使得t(x0)＝2x0－a＝0，即φ′(x0)＝2－ eq \f(a,x0) ＝0， 当0<x<x0时，φ′(x)<0；当x>x0时，φ′(x)>0， 此时φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 要证φ(x)≥0，即要证φ(x0)≥0. 于是原问题转化为证明不等式组 由2－ eq \f(a,x0) ＝0，得＝ eq \f(a,2x0) ，对＝ eq \f(a,2x0) 两边取对数得ln x0＝ln eq \f(a,2) －2x0，代入φ(x0)得φ(x0)＝ eq \f(a,2x0) ＋2ax0－2a. 因为φ(x0)＝ eq \f(a,2x0) ＋2ax0－2a≥2 eq \r(\f(a,2x0)·2ax0) －2a＝0，当且仅当x0＝ eq \f(1,2) ，a＝e时，等号成立， ∴φ(x)≥0，原不等式得证． (2022·湖南株洲模拟)已知函数f(x)＝ex－ln x，g(x)＝xex＋ eq \f(1,e) . (1)求函数f(x)的单调区间及在[t，t＋1](t>0)上的最小值； (2)证明：当x>0时，xf(x)<g(x). (1)解：由f(x)＝ex－ln x，得f′(x)＝e－ eq \f(1,x) ＝ eq \f(ex－1,x) ，x∈(0，＋∞)， 令f′(x)>0，得ex－1>0，即x> eq \f(1,e) ，因此函数f(x)在(0， e