第八章 第七节 第1课时 最值问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第八章　解析几何 第七节　圆锥曲线的综合问题 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 栏目索引 关键能力·精准突破 关键能力·精准突破 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 分级练（56） 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 谢谢观看！ 第❶课时　最值问题 考点 最值问题(精研通) 考法1　几何法求最值问题 【例1】(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为 eq \f(1,2) . (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 解：(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝ eq \f(1,2) (x－2)，即x－2y＝－4. 当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4. 由椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)过点M(2，3)，得 eq \f(4,16) ＋ eq \f(9,b2) ＝1，解得b2＝12. 所以C的方程为 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,12) ＝1. (2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4). 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝m，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，)) 可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简，得16y2＋12my＋3m2－48＝0， 所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8， 与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8， 点N到直线AM的距离即为两平行线之间的距离，即d＝ eq \f(8＋4,\r(1＋4)) ＝ eq \f(12\r(5),5) ， 由两点之间的距离公式，得|AM|＝ eq \r(（2＋4）2＋32) ＝3 eq \r(5) . 所以△AMN的面积的最大值为 eq \f(1,2) ×3 eq \r(5) × eq \f(12\r(5),5) ＝18. 几何法求解最值的策略 根据已知的几何量之间的相互关系或几何特征，把最值问题转化为某几何元素的临界位置问题(如求直线斜率的最值、距离的最值、三角形面积的最值等). 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋m(m>0)与抛物线C交于不同的两点M，N. (1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值； (2)若m＝2，求|MF|·|NF|的最小值． 解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，对y＝ eq \f(x2,4) 求导，得y′＝ eq \f(x,2) ， 故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为 eq \f(x1,2) 和 eq \f(x2,2) . 又切线互相垂直，∴ eq \f(x1,2) · eq \f(x2,2) ＝－1，即x1·x2＝－4， 把y＝kx＋m代入C的方程，得x2－4kx－4m＝0. ∴x1x2＝－4m，故m＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线定义可知|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1. 由(1)和m＝2，知x1x2＝－8，x1＋x2＝4k， ∴|MF|·|NF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9， ∴当k＝0时，|MF|·|NF|取得最小值，且最小值为9. 考法2　代数法求最值问题 【例2】(2023·江苏泰州中学模拟)已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲