第八章 第七节 第5课时 证明问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第八章　解析几何 第❺课时　证明问题 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 栏目索引 关键能力·精准突破 关键能力·精准突破 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 分级练（60） 返回导航 第1轮 数学 第八章　解析几何 谢谢观看！ 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 考点 证明问题(精研通) 【例】(2022·广东肇庆二模)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝ eq \f(27,4) 的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝ eq \f(3,4) 的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知定点P( eq \f(3,2) ，0)，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN. (1)解：如图，设圆E的圆心E(x，y)，半径为r，则|EM|＝r＋ eq \f(3\r(3),2) ，|EN|＝r－ eq \f(3\r(3),2) ，所以|EM|－|EN|＝2 eq \r(3) <|MN|. 由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 eq \r(3) 的双曲线右支， 所以曲线C的方程为 eq \f(x2,3) －y2＝1，x≥ eq \r(3) . (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋2. 由于曲线l与曲线C交于两点，故－ eq \r(3) <m< eq \r(3) . 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,x＝my＋2，x≥\r(3)，)) 得(m2－3)y2＋4my＋1＝0，故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－4m,m2－3),y1y2＝\f(1,m2－3))) ， 又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，y1≠0，y2≠0， eq \f(1,kAP) ＋ eq \f(1,kBP) ＝ eq \f(my1＋\f(1,2),y1) ＋ eq \f(my2＋\f(1,2),y2) ＝2m＋ eq \f(1,2) · eq \f(y1＋y2,y1y2) ＝2m＋ eq \f(1,2) · eq \f(\f(－4m,m2－3),\f(1,m2－3)) ＝0， 即kAP＋kBP＝0，所以∠APN＝∠BPN. 解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 1．已知抛物线y2＝4x，点P(2，0)，Q(4，0).过点Q的直线交抛物线于点A，B，AP，BP分别交抛物线于点C，D，连接AD，DC，CB. (1)若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，求 eq \f(k2,k1) 的值； (2)过点P与x轴垂直的直线分别交AD，BC于点E，F，求证：|PE|＝|PF|. (1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AC的方程为x＝m1y＋2， 所以k2＝ eq \f(y4－y3,x4－x3) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) eq \f(y4－y3,\f(y,4)－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ,4)) ＝ eq \f(4,y3＋y4) ，k1＝ eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝ eq \f(4,y1＋y2) . 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m1y＋2，,y2＝4x，)) 得y2－4m1y－8＝0，所以eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(