第三章 拓展深化三 同构法解复合型函数问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三章　导数及其应用 拓展深化三　同构法解复合型函数问题 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看！ 在数学解题过程中，经常会遇到左、右两边结构相似的方程、不等式等，若直接求解困难较大，这时需要应用同构思想，通过变形进行合理转化． 导数问题中经常出现含参等式或不等式，如果通过变形，使左右两边结构形式完全相同，能找到式子两边对应的同一函数模型，这就是同构法． 注意：同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式． 同构式 的应用 (1)在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a，b可视为方程f(x)＝0的两个根． (2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式 同构法构 造函数的 策略 (1)指对各一边，参数是关键； (2)常用“母函数”：f(x)＝xex，f(x)＝ex±x;寻找“亲戚函数”是关键； (3)信手拈来凑同构，凑常数、x、参数； (4)复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围 【例】关于x的方程ex－ eq \f(ln x＋k,x) ＝1在(0，＋∞)上只有一个实根，则实数k＝(　　) A．e－1 B．1 C．0 D．e B　解析：方程ex－ eq \f(ln x＋k,x) ＝1，可化为xex＝k＋x＋ln x，即xex＝k＋ln (xex). 记t＝xex(x>0)，则方程化为t＝k＋ln t，即k＝t－ln t. 因为t′(x)＝(x＋1)ex>0，所以函数t(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以t(x)>0×e0＝0. 故方程ex－ eq \f(ln x＋k,x) ＝1只有一个实根等价于方程k＝t－ln t(t>0)只有一个实根． 记g(x)＝t－ln t(t>0)，则g′(t)＝1－ eq \f(1,t) ＝ eq \f(t－1,t) ， 当0<t<1时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减；当t>1时，g′(t)>0，函数g(t)单调递增． 又t→0时，g(t)→＋∞，t→＋∞时，g(t)→＋∞. 所以由方程k＝t－ln t(t>0)只有一解，可得k＝g(1)＝1－ln 1＝1，故选B. [探究提高] 常见的同构变形有： (1)axeax≥x ln x⇒axeax≥ln x·eln x，可构造函数f(x)＝xex来进行研究． (2)x2ln x＝a ln a－a ln x⇒x2ln x＝a ln eq \f(a,x) ⇒x ln x＝ eq \f(a,x) ln eq \f(a,x) ，可构造函数f(x)＝x ln x来进行研究． (3) eq \f(ex,a) ＋1>ln (ax－a)(a>0)⇒ eq \f(ex,a) ＋1>ln a＋ln (x－1)⇒ eq \f(ex,a) －ln a＋x>ln (x－1)＋x－1⇒ eq \f(ex,a) ＋ln eq \f(ex,a) >ln (x－1)＋(x－1)，可构造函数f(x)＝x＋ln x来进行研究． (4)x＋ eq \f(1,ex) ≥xα－ln xα(x>0)⇒ eq \f(1,ex) －ln eq \f(1,ex) ≥xα－ln xα(x>0)，可构造函数f(x)＝x－ln x来进行研究． (5)xα＋1ex≥－αln x⇒xex≥ eq \f(－αln x,xα) ⇒xex≥－αln x·e－αln x，可构造函数f(x)＝xex来进行研究． $