第三章 拓展深化四 二次求导法解难以判断f′(x)符号的问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三章　导数及其应用 拓展深化四　二次求导法解难以判断f′(x)符号的问题 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看！ 【例】已知函数f(x)＝ex－x ln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数． (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围． 解：(1)由f(x)＝ex－x ln x，知f′(x)＝e－ln x－1， 则f′(1)＝e－1，f(1)＝e， 故所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1. (2)∵f(x)＝ex－x ln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R， ∴g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立等价于ex－tx2＋x－ex＋x ln x≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即t≤ eq \f(ex＋x－ex＋x ln x,x2) 对任意的x∈(0，＋∞)恒成立． 令F(x)＝ eq \f(ex＋x－ex＋x ln x,x2) ，则F′(x)＝ eq \f(xex＋ex－2ex－x ln x,x3) ＝ eq \f(1,x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋e－\f(2ex,x)－ln x)) ， 令G(x)＝ex＋e－ eq \f(2ex,x) －ln x，则G′(x)＝ex－ eq \f(2（xex－ex）,x2) － eq \f(1,x) ＝ eq \f(ex（x－1）2＋ex－x,x2) >0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立． ∴G(x)＝ex＋e－ eq \f(2ex,x) －ln x在(0，＋∞)上单调递增，且G(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，G(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，G(x)>0，即当x∈(0，1)时，F′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0， ∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(1)＝1， ∴t≤1，即t的取值范围是(－∞，1]. [探究提高] 本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t的范围问题，实际上是求F(x)＝ eq \f(ex＋x－ex＋x ln x,x2) 的极值问题，问题是F′(x)＝ eq \f(1,x2) (ex＋e－ eq \f(2ex,x) －ln x)这个方程求解不易，这时我们可以尝试对G(x)＝ex＋e－ eq \f(2ex,x) －ln x再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难时，考虑用二次求导不失为一种妙法． 【练】若对任意正实数x，y，不等式(2x－y)·(ln y－ln x＋1)≤ eq \f(x,a) 恒成立，求实数a的取值范围． 解：由(2x－y)(ln y－ln x＋1)≤ eq \f(x,a) ，x>0，y>0，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(y,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln \f(y,x)＋1)) ≤ eq \f(1,a) ， 设f(x)＝(2－x)(ln x＋1)，即f(x)≤ eq \f(1,a) 恒成立， f′(x)＝－(ln x＋1)＋(2－x)· eq \f(1,x) ＝－ln x＋ eq \f(2,x) －2，f″(x)＝－ eq \f(1,x) － eq \f(2,x2) ＝ － eq \f(x＋2,x2) <0， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f′(1)＝0， 所以当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0； 即函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故当x＝1时，f(x)取最大值，为f(1)＝1，即1≤ eq \f(1,a) ，所以0<a≤1. $