第三章 第三节 第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三章　导数及其应用 第三节　导数的综合应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 栏目索引 关键能力·精准突破 关键能力·精准突破 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 分级练（20） 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看！ 第❶课时　利用导数研究恒(能)成立问题 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，难度略大． 考点 分离参数法求参数范围(精研通) 【例1】已知函数f(x)＝x ln x，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围． 解：依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a≤ln x＋ eq \f(1,x) 在x∈[1，＋∞)恒成立，亦即a≤(ln x＋ eq \f(1,x) )min，x∈[1，＋∞). 设g(x)＝ln x＋ eq \f(1,x) (x≥1)，则g′(x)＝ eq \f(1,x) － eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x－1,x2) . 令g′(x)＝0，得x＝1. 当x≥1时，因为g′(x)≥0，故g(x)在[1，＋∞)上是增函数．所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1. 故a的取值范围是(－∞，1]. 分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 已知函数f(x)＝x(ln x＋a)＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为2x－y－1＝0. (1)求a，b的值； (2)若对任意的x∈(1，＋∞)，f(x)≥m(x－1)恒成立，求正整数m的最大值． 解：(1)由f(x)＝x(ln x＋a)＋b，得f′(x)＝ln x＋a＋1， 由切线方程可知，f(1)＝2－1＝1，∴f′(1)＝a＋1＝2，f(1)＝a＋b＝1， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝x(ln x＋1)， 则x∈(1，＋∞)时，f(x)≥m(x－1)恒成立等价于x∈(1，＋∞)时，m≤ eq \f(x（ln x＋1）,x－1) 恒成立． 令g(x)＝ eq \f(x（ln x＋1）,x－1) ，x＞1，则g′(x)＝ eq \f(x－ln x－2,（x－1）2) . 令h(x)＝x－ln x－2，则h′(x)＝1－ eq \f(1,x) ＝ eq \f(x－1,x) ， ∴当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． ∵h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－2ln 2＞0， ∴∃x0∈(3，4)，使得h(x0)＝0， 当x∈(1，x0)时，g′(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)min＝g(x0)＝ eq \f(x0（ln x0＋1）,x0－1) . ∵h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，∴ln x0＝x0－2， ∴g(x)min＝g(x0)＝ eq \f(x0（x0－2＋1）,x0－1) ＝x0∈(3，4)， ∴m≤x0∈(3，4)，即正整数m的最大值为3. 考点 等价转化法求参数范围(精研通) 【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R