第三章 第三节 第2课时 利用导数证明不等式（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三章　导数及其应用 第❷课时　利用导数证明不等式 栏目索引 关键能力·精准突破 关键能力·精准突破 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 分级练（21） 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看！ 考点 作差法构造函数证明不等式(精研通) 【例1】(2022·河北保定一模)已知函数f(x)＝ln x＋2，g(x)＝ eq \f(1,a) e2x－ln eq \f(2,a) (a>0). (1)设函数h(x)＝f(x＋1)－x－2，求h(x)的最大值； (2)证明：f(x)≤g(x). (1)解：因为h(x)＝ln (x＋1)－x(x>－1)，所以h′(x)＝ eq \f(1,x＋1) －1＝－ eq \f(x,x＋1) (x>－1). 当x∈(－1，0)时，h′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0. 所以h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，则h(x)max＝h(0)＝0. (2)证明：原不等式等价于φ(x)＝e2x－a ln x－2a－a ln eq \f(2,a) ≥0， 则φ′(x)＝2e2x－ eq \f(a,x) ＝ eq \f(2xe2x－a,x) ，令m(x)＝2e2x－ eq \f(a,x) ， 则m′(x)＝4e2x＋ eq \f(a,x2) >0， 所以φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 令t(x)＝2xe2x－a，则t(0)＝－a<0，t(a)＝2ae2a－a＝a(2e2a－1)>0， 所以，存在唯一x0∈(0，a)使得t(x0)＝－a＝0， 即φ′(x0)＝－ eq \f(a,x0) ＝0， 当0<x<x0时，φ′(x)<0；当x>x0时，φ′(x)>0， 此时φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 要证φ(x)≥0，即要证φ(x0)≥0. 于是原问题转化为证明不等式组 由2－ eq \f(a,x0) ＝0，得＝ eq \f(a,2x0) ，对＝ eq \f(a,2x0) 两边取对数得ln x0＝ln eq \f(a,2) －2x0，代入φ(x0)得φ(x0)＝ eq \f(a,2x0) ＋2ax0－2a. 因为φ(x0)＝ eq \f(a,2x0) ＋2ax0－2a≥2 eq \r(\f(a,2x0)·2ax0) －2a＝0，当且仅当x0＝ eq \f(1,2) ，a＝e时，等号成立， ∴φ(x)≥0，原不等式得证． 证明形如A(x)＞B(x)的不等式的关键点 (1)构造新函数h(x)＝A(x)－B(x)； (2)求h′(x)＝A′(x)－B′(x)； (3)研究函数h(x)的单调性、极值、图象等(无法进行时，继续求导，研究h′(x)的单调性、极值、图象等，仍然无法进行时，继续求导研究)； (4)通过研究导数的性质，获得h(x)的性质，进而实现证明不等式A(x)＞B(x)的目标． (2022·湖南株洲模拟)已知函数f(x)＝ex－ln x，g(x)＝xex＋ eq \f(1,e) . (1)求函数f(x)的单调区间及在[t，t＋1](t>0)上的最小值； (2)证明：当x>0时，xf(x)<g(x). (1)解：由f(x)＝ex－ln x，得f′(x)＝e－ eq \f(1,x) ＝ eq \f(ex－1