第三章 第三节 第3课时 利用导数研究函数零点问题（课件PPT）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三章　导数及其应用 第❸课时　利用导数研究函数零点问题 栏目索引 关键能力·精准突破 关键能力·精准突破 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 分级练（22） 返回导航 第1轮 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看！ 考点 函数零点的个数(精研通) 【例1】(2022·江苏常州模拟)已知函数f(x)＝ax－xa(x>0)，其中a>1. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a≥e(e为自然对数的底数)时，求函数f(x)的零点个数并说明理由． 解：(1)因为f(x)＝ax－xa，其中x>0，则f′(x)＝ax ln a－axa－1， 由已知可得f′(1)＝a ln a－a＝a(ln a－1)＝0. 因为a>1，解得a＝e. (2)因为x>0，由f(x)＝ax－xa＝0，得x ln a＝a ln x，可得 eq \f(ln a,a) ＝ eq \f(ln x,x) ， 问题转化为当a≥e时，直线y＝ eq \f(ln a,a) 与曲线g(x)＝ eq \f(ln x,x) 的交点个数． g′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2) ，由g′(x)＝0，得x＝e. 当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)max＝g(e)＝ eq \f(1,e) ， 当x>1时，g(x)＝ eq \f(ln x,x) >0，作出直线y＝ eq \f(ln a,a) 与曲线g(x)＝ eq \f(ln x,x) 的图象如图所示． 由图可知，当a＝e时，直线y＝ eq \f(ln a,a) 与曲线g(x)＝ eq \f(ln x,x) 的图象只有一个交点，此时函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点；当a>e时，0<g(a)<g(e)＝ eq \f(1,e) ，此时直线y＝ eq \f(ln a,a) 与曲线g(x)＝ eq \f(ln x,x) 的图象有两个交点，此时函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 综上，当a＝e时，函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点；当a>e时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论： (1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”； (2)分离参数，将问题转化为求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”． 设函数f(x)＝ln x＋ eq \f(m,x) ，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－ eq \f(x,3) 零点的个数． 解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ eq \f(e,x) (x>0)，则f′(x)＝ eq \f(x－e,x2) ，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ eq \f(e,e) ＝2，∴f(x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)＝f′(x)－ eq \f(x,3) ＝ eq \f(1,x) － eq \f(m,x2) － eq \f(x,3) (x>0)，令g(x)＝0，得m＝－ eq \f(1,3) x3＋x(x>0). 设φ(x)＝－ eq \f(1,3) x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)·(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1