专题01 等差、等比数列基本量的计算及性质的应用（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题01 等差、等比数列的基本量的计算及性质的应用 知识归纳 一、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 4．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 5．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 6．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 7．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 二、等比数列 1．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 5．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 6．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 题型归纳 题型一　等差、等比数列基本量的运算 题型二　等差、等比数列的综合运算 题型三　等差、等比数列的证明 题型四　等差数列的性质 （1） 等差数列项的性质 （2） 等差数列前n项和的性质 题型五　等比数列的性质 题型六　等差数列前n项和的最值 题型分类 题型一　等差、等比数列基本量的运算 例1：已知在等差数列中，,，则=（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 例2：等差数列的前项和，，则（    ） A．9 B．12 C．30 D．45 例3：如果数列满足，，且数列是等差数列，则数列的第2021项等于______． 例4：已知等差数列前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列的通项公式． 例5：在等比数列中，若，，则___________. 例6：已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（    ） A．1 B． C． D． 例7：在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺