专题02 数列的通项与求和（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题02 数列的通项与求和 知识归纳 1、 数列通项 1．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 2．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 二、数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 5．倒序相加法： 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 6．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. 题型归纳 题型一　由an与Sn的关系求an 题型二　累加、累乘法求数列通项 题型三　构造法求数列通项 （1） 形如an＋1＝pan＋f(n)型 （二）相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1) （三）倒数为特殊数列 题型四　分组转化法求和 题型五　倒序相加法 题型六　裂项相消法求和 题型七　错位相减法求和 题型分类 题型一　由an与Sn的关系求an 例1：已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝________. 例2：数列的前n项和为，若，，则______． 例3：已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________． 例4：设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 例5：设数列的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时， 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)证明：为等比数列． 例6：设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________. 例7：已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 例8：已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式； 【方法小结】 1.已知Sn求an的3个步骤 （1）先利用a1＝S1求出a1； （2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式； （3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 题型二　累加、累乘法求数列通项 例9：已知，，求通项________. 例10：已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝________； 例11：已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 例12：在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________． 例13：已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 【方法小结】 1、累加法求通项公式的4步骤 2、累乘法求通项公式的4步骤 题型三　构造法求数列通项 （1） 形如an＋1＝pan＋f