第03讲 认识三角形之与三角形有关的角（内角和定理与外角和定理）-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（浙教版）

第03讲 认识三角形之与三角形有关的角（内角和定理与外角和定理） 1．学会证明三角形的内角和是180°，并运用三角形内角和定理去计算角的度数； 2．理解三角形的外角概念，掌握三角形的外角和定理； 3、掌握三角形的一个外角和等于与它不相邻的两个内角之和； 知识点一、三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）两个角互余的三角形是直角三角形． （5）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点二、三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 考点一：三角形内角和定理的证明 例1．某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【变式训练】 1．定理：三角形的内角和等于180°． 已知：的三个内角为、、 求证：． 证法1：如图∵，，（量角器测量） ∵（计算所得） ∴（等量代换） 证法2：如图，延长到，过点作．∴（两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角定义）． ∴（等量代换） 即． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理 C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 2．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 3．通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角． 求证：． 证明：延长BC，过点C作． ∴，． ∵， ∴． (1)小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可） (2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 考点二：三角形内角和定理的相关计算 例2．如图，在中，，平分交于点，，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，是的外角，平分，若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为____． 3．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． (1)如图，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则_________，________． (2)在（1）中，若，则_______；若，则________； (3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角________时，可以使任何射到平面镜上的光线m，经过平面镜、的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由． 考点三：直角三角形两个锐角互余的计算 例3．如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点，，已知，则的度数是（      ） A．50° B．40° C．45° D．44° 2．如图，在中，，若，，则的度数是______ 3．如图，点A