第19章 矩形、菱形与正方形复习与检测-【数理报期末复习】2022-2023学年初中数学八年级下册升级突破大模拟（华东师大版）

书 　　　　　 　　　　　 　　　　　考点１：矩形的性质 例１　如图１，在矩形ＡＢＣＤ 中，Ｅ为ＡＤ的中点，连结ＣＥ，过 点Ｅ作ＣＥ的垂线交ＡＢ于点Ｆ， 交ＣＤ的延长线于点 Ｇ，连结 ＣＦ．已知 ＡＦ＝ １２，ＣＦ＝５，则 ＥＦ２ ＝ ． 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°．所以∠ＥＤＧ＝１８０°－∠ＥＤＣ＝９０°．因为 点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＤＥ．在△ＡＥＦ和△ＤＥＧ 中，因为∠Ａ＝∠ＥＤＧ，ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＧ，所 以△ＡＥＦ≌△ＤＥＧ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＥＦ＝ＥＧ，ＡＦ＝ＤＧ ＝１２．因为ＣＥ⊥ＥＦ，所以ＣＦ＝ＣＧ＝５．所以ＣＤ＝ＣＧ －ＤＧ＝９２．根据勾股定理，得ＣＥ ２＝ＣＦ２－ＥＦ２＝ＣＤ２ ＋ＥＤ２，即５２－ＥＦ２ ＝（９２） ２＋ＥＦ２－（１２） ２．解得ＥＦ２ ＝ ５２． 故填 ５ ２． ●专项练习 １．如图 ２，线段 ＢＣ为等腰 △ＡＢＣ的底边，矩形 ＡＤＢＥ的对角 线ＡＢ与ＤＥ交于点Ｏ，若ＯＤ＝２， 则ＡＣ＝ ． ２．如图３，矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝３，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于 点Ｏ，ＤＨ⊥ＡＣ，垂足为点 Ｈ， 若 ∠ＡＤＨ＝２∠ＣＤＨ，则 ＡＤ 的长为 ． 考点２：矩形的判定 例２　如图４，在平行四边 形ＡＢＣＤ中，Ｐ是ＡＢ上一点（不 与点Ａ，Ｂ重合），ＣＰ＝ＣＤ，过点 Ｐ作ＰＱ⊥ＣＰ，交ＡＤ于点Ｑ，连 结ＣＱ，∠ＢＰＣ＝∠ＡＱＰ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）当ＡＰ＝３，ＡＤ＝９时，求ＡＱ和ＣＱ的长． 解析：（１）证明：因为∠ＢＰＱ＝∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＱ＝ ∠Ａ＋∠ＡＱＰ，∠ＢＰＣ＝∠ＡＱＰ，所以∠ＣＰＱ＝∠Ａ．因 为ＰＱ⊥ＣＰ，所以∠Ａ＝∠ＣＰＱ＝９０°．所以平行四边形 ＡＢＣＤ是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°，ＡＢ ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ＝９．在Ｒｔ△ＣＤＱ和Ｒｔ△ＣＰＱ中，因为 ＣＱ＝ＣＱ，ＣＤ＝ＣＰ，所以Ｒｔ△ＣＤＱ≌Ｒｔ△ＣＰＱ（Ｈ．Ｌ．）． 所以ＤＱ＝ＰＱ．在 Ｒｔ△ＡＰＱ中，ＡＱ２＋ＡＰ２ ＝ＰＱ２，即 ＡＱ２＋３２ ＝（９－ＡＱ）２．解得ＡＱ＝４．所以ＰＱ＝５．在 Ｒｔ△ＰＣＢ中，ＢＰ２＋ＢＣ２ ＝ＣＰ２，即（ＣＰ－３）２＋９２ ＝ ＣＰ２．解得 ＣＰ ＝１５．根据勾股定理，得 ＣＱ ＝ ＰＱ２＋ＣＰ槡 ２ ＝槡２５０． ●专项练习 ３．如图 ５，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＢ⊥ ＢＤ，ＡＢ＝５，ＢＤ＝４，ＣＤ＝３， 连结ＡＣ，则ＡＣ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．５ Ｂ． ４１ Ｃ． ８０ Ｄ．１０ ４．如图６，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ的中点，点Ｅ是ＡＤ 的中点，延长ＢＥ至Ｆ，使ＥＦ＝ＢＥ， 连结 ＡＦ，ＣＦ．求证：四边形 ＡＤＣＦ 是矩形． 考点３：菱形的性质 例３　如图７，在直角坐标 系中，菱形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ 在坐标轴上，若点Ａ，Ｂ的坐标分 别为（０，槡３），（－１，０），则点 Ｄ 的坐标为 （　　） Ａ．（２，２） Ｂ．（槡３，２） Ｃ．（３，槡３） Ｄ．（２，槡３） 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＡＢ．根据题意，得 ＯＡ＝槡３，ＯＢ＝１．所以 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝２＝ＡＤ．所以Ｄ（２，槡３）． 故选Ｄ． ●专项练习 ５．如图８，四边形 ＡＢＣＤ为 菱形，若ＣＥ为边ＡＢ的垂直平分 线，则∠ＡＤＢ的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．２５° Ｃ．３０° Ｄ．４０° ６．已知菱形ＡＢＣＤ的周长为 槡４５，两条对角线的和 为６，则菱形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．５ Ｃ．３ Ｄ．４ 考点４：菱形的判定 例４　 如图９，在 ＡＢＣＤ 中，Ｇ为 ＢＣ边上一点，ＤＧ ＝ ＤＣ，延长ＤＧ交 ＡＢ的延长线于 点Ｅ，过点Ａ作ＡＦ∥ＥＤ交ＣＤ 的延长线于点 Ｆ．求证：四边形 ＡＥＤＦ是菱形． 证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠ＢＡＤ＝∠Ｃ，ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＤＧＣ ＝ ∠ＡＤＥ．因为ＤＧ＝ＤＣ，所以∠ＤＧＣ＝∠Ｃ．所以∠ＢＡＤ ＝∠ＡＤＥ．所以ＡＥ＝ＤＥ．因为 ＡＦ∥ ＥＤ，所以四边形 ＡＥＤＦ是平行四边形．所以四边形ＡＥＤＦ是菱形． ●专项练习 ７．如图１０，在∠ＭＯＮ的 两边上分别截取 ＯＡ，ＯＢ，使 ＯＡ＝ＯＢ；分别以点Ａ，Ｂ为圆 心，ＯＡ长为半径作弧，两弧交 于点Ｃ；连结ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ，ＯＣ． 若ＡＢ＝２ｃｍ，四边形ＯＡＣＢ的面积为４ｃｍ２，则ＯＣ的长 为 （　　） Ａ．２ｃｍ Ｂ．３ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．５ｃｍ （下转第２４版                                           