第05讲 一元二次方程根与系数的关系（5种题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第05讲 一元二次方程根与系数的关系（5种题型） 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 题型1：求根与系数关系 例1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）若一元二次方程的两个根为、，则是（   ） A．1 B． C．2 D． 题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值 例3．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）一元二次方程的两个根为， 则___________． 例4．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例5.已知是方程的两根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 例6.已知的值． 例7.已知是方程：的两根，求代数式的值． 题型3：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值 例8．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 例9.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________． 题型4：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题 例10.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长． 例11．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 例12．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是___________； ①    ②    ③ (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________； (3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 一、单选题 1．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）关于下列一元二次方程，说法正确的是（    ） A．的两根之和等于5 B．的两根之积等于1 C．两根不可能互为倒数 D．中m=0时，两根互为相反数 2．（2022秋·江苏·九年级统考期中）关于的方程的一个解为，则该方程的另一个解是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（    ） A．或5 B．或 C． D．5 4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若是关于的一元二次方程的一个根．则与方程另一个根分别是（    ） A．6，5 B．5， C．2，5 D．，5 5．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 二、填空题 6．（2023·江苏盐城·统考一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______． 7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知一元二次方程的两个根分别是、，则代数式的值为______． 8．（2023·江苏南京·统考一模）设，是方程的两个根，且，则m＝______． 9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）已知、是关于的方程的两个根，则值等于________． 10．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______． 11．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______． 12．（2023·江苏宿迁·统考一模）关于x的方程的两个根分别是，则______________． 13．（2023·江苏南京·统考二模）若、为的两根，则的值为______． 14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）设是关于x的方程的两个根，则_____________． 15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）设、是方程的两个根，则___________． 16．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是________． 三、解答题 17．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根．