28.2.2 应用举例（第1课时）教学设计 2022-2023学年人教版数学九年级下册

《28.2　解直角三角形及其应用》教学设计 28.2.2　应用举例 第1课时　仰角、俯角与解直角三角形 教材分析 本课时是在熟练掌握解直角三角形的基础上探究仰、俯角问题，常用来解决实际生活中的测量问题，利用其解决实际问题的一般过程是：“实际问题——数学问题——数学问题的答案——实际问题的答案”．在教学过程中要注意让学生结合具体问题，并且引导学生通过作垂线来构造直角三角形，同时将这一过程与运用方程、函数、不等式解决实际问题的过程进行比较，让学生进一步体会运用数学知识解决实际问题的一般过程． 备课素材 一、新知导入 【情景导入】小明班的教室在教学楼的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图，∠CAD，∠BAD在测量中各叫什么角呢？ 【说明与建议】　说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求． 建议：两个学生一组，一个学生观察物体，另一个学生根据他观察的视线画出示意图，教师选择合适的时机引出仰角和俯角的概念． 二、命题热点 命题角度1　利用仰角解决实际问题 根据题意，画出示意图，确定已知角，构造直角三角形，再通过解直角三角形解决问题． 1．(达州中考)小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1 m，则大树AB的高度约为11m.(结果精确到1 m．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 命题角度2　利用俯角解决实际问题 根据题意和俯角的位置，构建直角三角形，设出相应的线段，通过解直角三角形构建一次方程，解方程并回答相应的问题． 2．(广西中考)如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为(30－10)米(结果保留根号)． 命题角度3　综合利用仰角、俯角解决实际问题 通过仰角和俯角添加辅助线，构建直角三角形，解直角三角形，解决实际问题． 3．(阜新中考)如图，甲楼高21 m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为57m(结果精确到1 m，≈1.7)． 三、数学文化拓展阅读 三角学的历史 早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．古希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯(Menelaus of Alexandria，公元100年左右)著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉(Varahamihira，约505―587) 最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一此阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁(Nasīral－Dīn al－Tūsī，1201—1274)的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436－1476)． 雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表． 雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响． 教学设计 课题 28.2.2　第1课时　仰角、俯角与解直角三角形 授课人 素养目标 1.进一步掌握解直角三角形的方法． 2．理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形. 3．运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学、用数学的思想. 教学重点 1.能够灵活应用边与边、角与角、边与角之间的关系解直角三角形． 2．能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题.