2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与最值

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与最值 1．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线且，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t，求四边形面积S的最大值及此时P点的坐标； (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于两点，点是下方抛物线上的一点．过点作，垂足为．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当取得最大值时，求点的坐标和的最大值； (3)将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线，为原抛物线对称轴上一点；点为新抛物线上一点．当(2)中最大时，直接写岀所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 3．已知二次函数，其中．    (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点A的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值． 4．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线经过点和．    (1)则点的坐标分别为________、________、________； (2)点是抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，连接． ①如图1，若动点在直线上方运动时，过点作于点，试求的周长的最大值． ②如图2，当点在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点的对应点为点，若以、、、为顶点的四边形能成为菱形，求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，以A为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点P在对称轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P从A点出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作交于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接，当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？ (3)抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)，，三点的坐标为，______，______． (2)连接，交线段于点， ①当与轴平行时，求的值； ②当与轴不平行时，求的最大值； (3)连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求m的值及直线的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点Q为的中点，连接，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点Р作x轴的垂线．垂足为H，交于点M，交直线于点J，过点M作，垂足为N．是否存在与和的最大值﹖若存在，求出与和的最大值；若不存在，请说明理由． 9．淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一，如图1，它的外边缘线的一半恰好呈抛物线，如图2是半块烧饼的示意图，以的中点为原点建立平面直角坐标系，的长度为，抛物线最高点距的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图3，小明想在这半块烧饼上切出一块矩形，使得矩形的一边与重合，点在抛物线上，求该矩形周长的最大值： (3)如图4，小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为的矩形，若切出的所有矩形的长与平行，求切出的所有矩形的面积之和．（结果保留根号） 10．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求△ABC的面积； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作交直线于点D，过点P作直线轴交直线于点E，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移8个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 11．如图，过点的抛物线的对称轴是直线，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行