4.2.1（第1课时）等差数列的概念及通项公式 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念及 通项公式 新知导入 数列是一种特殊的函数. 在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型. 类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手. 新知导入 请看下面几个问题中的数列. 1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48. ② 3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为 25，24，23，22，21. ③ 新知导入 4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=）元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为 ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④ 新知讲解 思考： 你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 38，40，42，44，46，48. ② 25，24，23，22，21. ③ ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④ 对于①，我们发现 18=9+9，27=18+9，…，81=72+9， 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9，…，81-72=9. 如果用{}表示数列 ①，那么有 ，，…， . 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②~④也有这样的取值规律. 新知讲解 等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. （符号语言） 概念解析： (1) “每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (2) 定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 新知讲解 等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b. （1）条件：如果a，A，b成等差数列 （2）结论：A叫做a与b的等差中项 （3）满足的关系式是 2A=a+b 合作探究 等差数列的通项公式 探究: 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列{}的首项为，公差为d.根据等差数列的定义， 可得， ， 所以, ，，，… . 于是 ， …… 归纳可得 . 当n=1时，上式为 这就是说，上式当n=1时也成立. 合作探究 等差数列的通项公式 首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为 思考：上面的推导采用了不完全归纳法，还有其他的方法吗？怎么做? 提示：还可以用累加法 解：因为 ， ， …… 将上述（n-1）个式子相加得 ， 所以 . 当n=1时， 上式为， 符合上式， 所以 合作探究 已知等差数列{}的首项为，公差为d 递推公式 通项公式 an－an－1＝d (n≥2) an＝a1＋(n－1)d (n∈N*) 合作探究 从函数角度认识等差数列 思考： 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 由于 ， 所以当时，等差数列{}的第n项是一次函数 当x=n时的函数值，即 . 如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出 的图象， 就得到一条斜率为d，截距为的直线. 提示： 合作探究 在这条直线上描出点 就得到了等差数列{}的图象. 事实上，公差的等差数列{}的图象是点(n, )组成的集合，这些点均匀分布在直线 上. 反之，任给一次函数 (k, b为常数)， 则 构成一个等差数列 首项为 , 公差为b 合作探