期末复习讲义-立体几何-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第3周 立体几何 立体几何初步 知识体系： 期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例） 板块 期末分值 试题分布 平面向量 25 4、5、16、17 解三角形 29 10、18、22 复数 15 1、12、13 立体几何 44 6、7、11、15、19、21 概率与统计 37 2、3、8、9、14、20 知识清单： 立体几何初步 一、基本立体图形 基本立体图形由简单几何体和简单组合体构成，其中简单几何体包括： ①多面体：棱柱、棱锥、棱台等； ②旋转体：圆柱、圆锥、圆台等。 1.棱柱 (1)棱柱的特点:上下底面平行，侧棱平行 (2)一些常见的特殊棱柱之间的关系，写成集合的形式，即 {正棱柱}{直棱柱}； {正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}； (3)表面积与体积公式 对于直棱柱，若表示底面的周长，则，。 若表示底面的面积，表示棱柱的高，则。 2.棱锥 (1)棱锥的特点；有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形 (2)体积公式 若表示底面的面积，表示棱锥的高，则 (3)一些特殊棱锥 a.正棱锥 定义：底面是正多边形、且顶点在底面的射影为底面中心的棱锥 性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 表面积与体积：若正棱锥底面周长为，面积为，高为，斜高为，则，。 b.正四面体 定义：由四个全等的正三角形围成的封闭多面体叫做正四面体. 表面积与体积： 设正四面体的棱长为，则正四面体的高，，. 推论：正四面体的内切球半径，外接球半径. 3.棱台 (1)特点：各侧棱的延长线交于一点. (2)体积公式 若棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为，则. 4.圆柱 (1)定义:将矩形绕其一边所在直线旋转一周所形成的几何体叫做圆柱. (2)表面积和体积公式：，，. 5.圆锥 (1)定义：直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体叫做圆锥. (2)表面积和体积公式 若圆锥的底面半径为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，则，，. 6.圆台 (1)定义：一个直角梯形绕其直角边所在直线旋转一周形成的几何体. (2)表面积和体积公式 若圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，圆台的母线长为，则，，. 7.球 (1)定义：将半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的几何体叫做球. (2)面积和体积公式 若球的半径为，则，. 二、直观图 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．2画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，它们确定的平面表示水平面． （2）在已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段． （3）在已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度保持不变，平行于轴的线段，长度变为原来的．（横不变，纵减半） 注：直观图和原始图面积关系 三、空间点、线、面的位置关系 1.点、线、面的位置关系和表示 点与直线、点与平面的位置关系 直线 点在直线上 点在直线外 图象和符号表示 平面 点在平面内 点在平面外 图象和符号表示 直线与直线、直线与平面的位置关系 直线 共面 异面 相交 平行 图象和符号表示 公共点个数 平面 线在面内 线在面外 直线和平面平行 直线和平面相交 图象和符号表示 公共点个数 无数个 平面与平面的位置关系 平面 相交 平行 图象和符号表示 公共点个数 无数个 注：将点看成元素，直线和平面看成点组成的集合，所以点在线上、点在面内用“属于（）”表示，直线在面内用“包含于（）”表示。 4.平面的基本性质 基本事实1：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。（可以简称为“不共线的三点确定一个平面”。） 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 符号表示：，，，。 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 符号表示：且，。 基本事实4（平行的传递性）：平行于同一直线的两条直线平行。 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 四、空间角 (1)线线角：平移到同一个平面的两条相交直线 范围： 特别地，异面直线夹角求解 方法：平移，通过平行使得两条直线在同一个平面内，再利用余弦定理求解； 平移后直线不