期末复习讲义-解三角形和复数-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第2周 解三角形和复数 解三角形 知识体系： 期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例） 板块 期末分值 试题分布 平面向量 25 4、5、16、17 解三角形 29 10、18、22 复数 15 1、12、13 立体几何 44 6、7、11、15、19、21 概率与统计 37 2、3、8、9、14、20 知识清单： 解三角形 一、正弦定理 1.公式：(其中为三角形外接圆半径) 2.公式变形 (1)边化角：，， (2)角化边：，， (3)连比： 和比： 二、余弦定理 1.公式： 2.公式变形 三、综合应用 1.面积公式 (1)正弦面积公式： 推论：(是外接圆半径) (2)海伦-秦九韶公式 设，我们称为半周长，则. (3)面积公式：(是内切圆半径) 2.判断三角形形状 (1)大角对大边： 注：在三角函数中，不成立. (2)余弦定理判断三角形的形状 若已知的三条边长，，，且，由“大角对大边”，知，所以： 若，则是锐角三角形； 若，则是直角三角形； 若，则是钝角三角形. 3.判断用哪个定理 在中，若已知： (1)一边和两角，用正弦定理，由内角和公式，求角，再由正弦定理求出，. (2)两边和夹角，用余弦定理，求出第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由求出另一角. (3)三边，用余弦定理，求出三个角，，. (4)两边和一个对角（如，，） 可用正弦定理，但是要注意解的个数的讨论；也可以用余弦定理，先求出，再求出其余两角，. 4.已知两边一对角，解的个数讨论 在中，若已知，，，求： 若为锐角 图形 关系式 解的个数 无解 一个解 两个解 一个解 若为直角或钝角 图形 关系式 解的个数 一个解 无解 四、解三角形大题常见题型总结 1. 消角构造三角函数 由内角和公式， ， ， 类似地，，，可以将多余的角消去， 再利用辅助角公式化简。 【例题】在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的取值范围． 解：（Ⅰ）， ， ，， 为锐角三角形， （Ⅱ）为锐角三角形，， ， 为锐角三角形，，， 解得，， ， ， 的取值范围为，． 2. 对边对角模型 在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围。 结合余弦定理变式可得： 此公式在已知 ，的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值。 【例题】中，． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理可得， 即为， 由余弦定理可得， 由，可得； （2）由题意可得， 又，可设，，， 由正弦定理可得， 可得，， 则周长为， ， 当，即时，的周长取得最大值． 另解：，，又， ， 由，则（当且仅当时，“”成立）， 则周长的最大值为．:50:24；用户：刘晓楠；邮箱：152 3.正弦定理边角转化 在正弦定理中： ， 此时，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系。 【例题】 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 解：（1），，， ，，，， ， （2）由正弦定理得， ， 当且仅当，，，． 4. 齐次式结构 在这一部分中，我们经常会看到诸如：，等结构， 这种类型可利用正弦定理转化为纯角的结构： ， 我们需要消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理。 【例题】在中，，，分别为内角，，的对边，现有如下条件： ①； ②； ③，，求的面积； ④，，求的面积． （1）在①和②中选择一个，作为已知条件，求角的大小． （2）在（1）的条件下，在③和④中选择一个问题进行解答． 解：（1）若选①：由， 可得，， ， ，，，， 若选②：由， 得， ，， ，， （2） 若选③：由， （3） 得， ， ， ，，， 由（1）知，由余弦定理得，， 的面积为． 若选④：，， 由（1）知，由余弦定理得，， ，解得，， 的面积为． 数系扩充 知识体系： 期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例） 板块 期末分值 试题分布 平面向量 25 4、5、16、17 解三角形 29 10、18、22 复数 15 1、12、13 立体几何 44 6、7、11、15、19、21 概率与统计 37 2、3、8、9、14、20 知识清单： 数系扩充 一、数系扩充和复数的概念 1.复数的概念和几何意义 (1)①虚数单位：方程的解，即. ②复数：形如的数 ③实部：复数，其实部 ④虚部：复数，其虚部 ⑤复