2023年初高中物理衔接读本：3.5 三角函数

第三章 力 物体平衡 第五节 三 角 函 数 初中回顾 在初中物理学习中，有关的计算问题一般不涉及角度的问题，其本上不涉及三角函数的计算问题。而对于刚升人高中的新生来讲，遇到三角函数问题就会觉得困难。在高中物理学习中，就要应用三角函数的知识进行有关的计算了。 在力的合成和分解、共点力的平衡以及力矩平衡中，都涉及应用三角函数求解的问题。你能求解直角三角形的三角函数问题吗？或者将力的问题化为直角三角形的三角函数问题？ 入门阶梯 在高中物理的学习中，从力的合成和分解开始，就出现了有关角度的问题，应用三角函数进行计算是初学者的难点，也是重点，以下以例题为例讲述一下。 一、三角函数的简介 1.初中数学中所学的直角三角形中的三角函数 （1） 如图3-75所示，直角三角形ABC的三条边的边长分别为a、b、c， ； ； ； ； （2）在利用正交分解法分解力时，选择如图3-76所示的直角坐标系，把力F分解到x、y坐标轴上，则力F和两个分力为Fx、Fy满足平行四边形定则，可以利用三角函数计算出两个分力。 利用三角函数计算分力可用如下公式，其中θ角如图3-76所示。 ；因此， ；因此， 另外， 1. 几个特殊角的边角关系 （1）30°，60°（图3-77） ，，， ，，， （2）45°（图3-78） ，，， （3）37°，53°（图3-79） ，，， ，，， 二、利用平行四边形求解时的三角函数问题 1.在力的合成和分解中两个分力与合力的大小满足平行四边形，由于平行四边形的对边平行且相等，可以把三个力归结到一个封闭的三角形中。三个力的大小可以通过三角形的边角关系进行计算。 例题1 （解平行四边形） 已知两个大小相等的力F，其夹角为α，求这两个力的合力的大小和方向。 解析 已知：F，α 求：F合的大小和方向。 如图3-80所示，以两个力F为邻边，画出平行四边形，由于邻边大小相等，所以此平行四边形为菱形，对角线平分夹角α，两条对角线互相垂直平分。 则 ， 即合力大小为，合力方向在α角的平分线上。 点拨 在利用平行四边形定则时，当平行四边形是菱形时，通过菱形对角线与边的关系，找到直角三角形再求解。 2.在共点力的平衡问题中，如在三个力作用下的平衡中，可以利用两个力的合力与第三个力等大反向来求解；在三个力作用下的平衡中，也可以把三个力归结到一个三角形中，利用三角形的边角关系求解。 例题2 （解直角三角形）如图3-81所示，细木杆上端分别系着OA、OB两根细绳，使木杆竖直立在水平地面上（木杆对地的力竖直向下），已知斜拉绳OA与水平地面的夹角为53°，对O点的拉力大小为50N。求：（sin 53°=0.8,cos53°=0.6) （1） 水平绳OB对O点的拉力的大小； （2） 木杆对O点的支持力的大小。 解析 已知：FOA=50N，θ=53°。 求：（1）FOB大小；（2）FN的大小。 如图3-82所示，以O点为研究对象，画出受力图。由平衡状态条件可知，O点所受的合力为零，即FOA、FOB、FN三个力的合力为零。将FOA分解，由三角函数可知： 点拨 在共点力平衡条件中，若三力平衡时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反。此时画出的三角形，其三个边代表着三个力的大小，可以利用三角函数求解力的大小。 三、正交分解中的三角函数问题 在力的分解和共点力的平衡问题中，当利用正交分解的方法解题时，会遇到利用三角函数求解的问题。这时就归结为斜边和两个直角边的问题。 例题3（正交分解法）如图3-83所示，物体重G=10N，作用力大小F=20N，力与竖直方向的夹角α=30°，在力F的作用下物体被压在竖直墙上处于静止状态，求物体所受墙壁的弹力大小，所受摩擦力的大小和方向。 解析 已知：G=10N，α=30°，F=20N。 求：FN的大小，Ff的大小和方向。 以物体为研究对象，进行受力分析。如图3-84所示，物体受G、FN、Ff、F四个共点力作用，物体处于平衡状态，四个力的合力一定为零。采用正交分解的方法，将F分解为水平Fx、竖直Fy，两个分力，根据水平方向合外力为零可得 ， 则 根据竖直方向的合外力为零可得 ， 则 即物体所受摩擦力的大小为7.32N，方向沿竖直墙向下。 点拨 当物体受四个及以上多力作用下处于平衡状态时，一般利用正交分解的方法求解。当利用正交分解法时，遇到的三角函数问题就是斜边和两个直角边的关系。 尝试挑战 1.（解直角三角形） 如图3-85所示，斜面光滑，倾角为α=30°，球重为100N，用水平细绳拉住，球静止在斜面上，则斜面受到球的压力大小为_______N，水平绳子的拉力大小为_______N。 2.（解直角三角形） 如图3-86所示，用一拉力将悬挂小球的细线拉离竖直位置并偏转了30