第一章整式的乘除　单元练习　2022—2023学年北师大版数学七年级下册

第1章 整式乘除 1.零指数幂的意义 任何不等于0的数的0次幂都等于1。用公式表示为1（≠0） 2.负整数指数幂的意义 任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，用公式表示为 （≠0，p是正整数） 3.平方差公式： 平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差． ①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 4.完全平方公式： ； 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍． 完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积倍在中央”． 知识点一、0指数幂和负整数指数幂运算 例1．3﹣2＝　 　． 【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算． 【解答】解：原式＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算． 练习1．计算（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0＝　　． 【分析】根据负整数指数幂和非零数的零指数幂计算可得． 【解答】解：原式＝﹣1＝﹣1＝4﹣1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂和非零数零指数幂的运算法则是解题的关键． 练习2．计算：2﹣1＝　　． 【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可． 【解答】解：2﹣1＝．故答案为． 知识点二、平方差、完全平方公式 例2．下列能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2） 【分析】利用平方差公式对各选项进行判断． 【解答】解：（﹣x+y）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了完全平方公式． 例3．计算：（m﹣n）（m+n）＝　 　． 【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．即可利用平方差公式相乘． 【解答】解：（m﹣n）（m+n）＝m2﹣n2． 故答案为：m2﹣n2． 练习1．已知a+b＝7，a﹣b＝8，则a2﹣b2的值是（　　） A．11 B．15 C．56 D．60 【分析】根据平方差公式将a2﹣b2分解为（a+b）（a﹣b），代入数据后即可得出结论． 【解答】解：∵a+b＝7，a﹣b＝8， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7×8＝56． 故选：C． 例4．如果多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　　． 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9＝x2+mx+32， ∴mx＝±2×3×x， 解得m＝6或﹣6． 故答案为：±6． 【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 练习1．若4x2﹣mx+1是一个完全平方式，则m＝　　． 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【解答】解：∵4x2+mx+1＝（2x）2+mx+12， ∴mx＝±2•2x•1， 解得m＝±4． 故答案为：±4． 【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 练习2．若x2+（m﹣1）x+9是完全平方式，则m的值是（　　） A．7 B．﹣5 C．±6 D．7或﹣5 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9＝x2+（m﹣1）x+32， ∴（m﹣1）x＝±2•x•3， 解得m＝﹣5或7． 故选：D． 知识点三、完全平方式各部分之间的关系 例5．若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（　　） A．19 B．31 C．27 D．23 【分析】根据非负数的性质可得x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0， ∴x+y＝5，xy＝3， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25， ∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19． 故选：A． 练习1．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知图案的面积为25，小正方形的面积为9，若用x，y长示小长方形的两边长（x＞y），请观