第五章　轴对称　单元练习　2022—2023学年北师大版数学七年级下册

第五章 生活中的轴对称 知识点一、简单的轴对称图形 1、 垂直平分线 定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 2.角平分线 定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3、等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 性质：三线合一（底边的高线，底边的中线，顶角的角平分线三线合一） 知识点二、线段和最小问题 ①设C 为直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图) ②作法： (1)作点B 关于直线l 的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l 交于点C. 则点C 即为所求． ③证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′. ∴ AC ＋BC= AC ＋B′C = AB′，AC′＋BC′= AC′＋B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短. 知识点一、角平分线的性质 例1. 如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ． 【详解】解：如图， 由垂线段最短定理可知： 当CE⊥OB时，CE 的长度最小， ∵点C在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA， ∴CE=CD=2， 故答案为：2 ． 【点睛】本题是基础题目，解题的关键是熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理． 练习1. 如图，在△ABC中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E，已知AB=10，，则CE的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作于点F，由题意可知AE为的平分线，根据角平分线的性质可知．借助可计算EF的长，再由即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点F， 由题意可知，AE为的平分线， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-做已知角的平分线、角平分线的性质等知识，解题关键是掌握基本的尺规作图方法和理解角平分线的性质． 练习2. 如图，按以下方法作一个角的平分线：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．这种作图方法的依据是（ ） A. AAS B. SAS C. SSS D. ASA 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到，，又因为为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明． 【详解】解：由作法得，， 而又为公共边， 所以根据“”可判定， 所以，即平分． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 知识点二、角平分线+平行线=等腰三角形 例2. 如图，，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 练习1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　 　． 解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM+CN＝9 ∴MN＝9， 故答案为：9． 知识点三、双角平分线结论 （1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A； （2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A； （3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A． 例3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的