第四章　三角形　　单元练习　2022—2023学年北师大版数学七年级下册

第4章 三角形 一、三角形重要线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 二、三角形全等判定 （1）、全等三角形判定1——“边边边” （2）、全等三角形判定2——“角边角” （3）、全等三角形判定3——“角角边” （4）、全等三角形判定4——“边角边” （5）、全等三角形判定5——“斜边直角边” 知识点一、三角形全等的判定 例1. 如图，点B、E、C、F四点共线，∠B ＝∠DEF，BE ＝ CF，添加一个条件，不能判定 △ABC ≌ △DEF的是（　　） A. ∠A＝∠D B. AB＝DE C. AC∥DF D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【分析】求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， 即BC＝EF， A．∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； B．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； C．∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F， ∠B＝∠DEF，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； D．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠DEF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 练习1. 如图，已知，欲证，需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：， A、补充，不能证明，故本选项不符合题意； B、补充，不能证明，故本选项不符合题意； C、补充，则，可利用边角边证得，故本选项符合题意； D、补充，不能证明，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 练习2 已知：如图，，只需补充条件_______，就可以根据“”得到． 【答案】 【解析】 【分析】已知和，需要根据“SAS”证明三角形全等，只能补充AC=BD的条件． 【详解】解：补充条件AC=BD， 在和中， ， ∴． 故答案是：AC=BD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 知识点二、手拉手全等 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 （1）条件：①共顶点；②两个等腰三角形；③顶角相等 （2）结论①；②；③ 例1. 如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE． （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，AD与BE交于点P，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AD与BE的位置关系不发生变化． 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE； （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE． 【详解】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°， ∴∠CBA=∠CAB， ∴BC=CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE； （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC=∠DAC， ∵∠BDP=∠ADC， ∴∠BPD=∠DCA=90°，即AP⊥BE， ∵AB=AE， ∴AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE．AD与BE的位置关系不发生变化． 如图2， ∵∠BCA=∠DCE=90°， ∴∠BCA+∠BCD=∠