第四章　三角形全等模型（几何）讲义　　2022—2023学年北师大版数学七年级下册

全等三角形 十大类变化模型 全等三角形 三角形全等模型 知识点一 手拉手模型 一．手拉手模型： 1.手的判别： 判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2.手拉手的定义 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 3.手拉手基本结论 ①△ABC≌△AB′C′(SAS) ②∠BAB′＝∠BOB′ ③AO平分∠BOC′ 4.常见图形 【例题1】 在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明： （1）△ABE≌△DBC （2）AE＝DC （3）AE与DC的夹角为60° （4）△AGB≌△DFB （5）△EGB≌△CFB （6）GF∥AC 【变式1.1】如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°． ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF， BE之间的关系，并证明你的结论． 【变式1.2】已知点 C为线段 AB上一点，分别以 AC、BC为边在线段 AB同侧作△ACD和△BCE，且 CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线 AE与 BD交于点 F。 (1)如图 1，若∠ACD＝60°，则∠AFD＝ (2)如图 2，若∠ACD＝α，则∠AFB＝ （用含α的式子表示），并说明理由。 (3) 将图 1 中的△ACD绕点 C顺时针旋转如图 3，连接 AE、AB、BD，∠ABD＝80°， ∠CAD=∠BCE=60°，求∠EAB的度数. 【变式1.3】已知：如图1，以点A为顶点作两个等腰直角三角形△ABC、△ADE， ∠CAB＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CE和BD，并延长BD交CE于点F. （1）试说明BD＝CE； （2）求∠BFC的度数； （3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请说明理由. 【变式1.4】如图1，点为直线上一动点，，都是等边三角形，连接 （1）求证：； （2）分别写出点在如图2和图3所示位置时，线段、、三者之间的数量关系（不需证明）； （3）如图4，当时，证明：． 知识点二 一线三等角模型 二．一线三等角 1.常见图形如下：（含特殊的一线三垂直） 【例题2】 等腰直角△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N．第五讲 三角形全等模型（一） （1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．BM，CN，MN之间有何关系？ （2）若将直线l旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么 上题的结论是否依旧成立？ 【变式2.1】 （1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． 证明： （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式2.2】（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF； （2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上 ∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC． 求证：△ABE≌△CAF； （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和． 【变式2.2】．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　． A．50   B．62    C．65    D．68 [深入探究] 如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点； 倍长中线法知识点三 倍长中