2023年中考数学高频考点突破——二次函数与三角形

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上． （1）求直线AE的解析式； （2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点B的横坐标是8． （1）求这条直线AB的函数关系式及点A的坐标； （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，写出点C的坐标，若不存在，请说明理由． （3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 3．如图所示，抛物线经过，，三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于点D．设抛物线的顶点为P，连接PA，AD ，DP，线段AD与y轴相交于点E． （1）求该抛物线的表达式． （2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． （3）将绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM ，DN，若，求点N的坐标（直接写出结果）． 4．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E． （1）直接写出tan∠ABC的值　　； （2）点P在射线ED上，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标； （3）点M在线段BC下方的抛物线上，当△MBC为锐角三角形时，求M点横坐标的取值范围． 5．如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求N点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接． （1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式． （2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标． （3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标． 7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，点D是线段BC的中点，点E、F分别是线段OB，OC上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点E，F，使得DEF为等边三角形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当∠BFD的度数最大时，求tan∠OBF的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，其中A（– 4，0），B（2，0），C（0，– 4）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标； （3）将沿直线BC平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，，，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）已知点是抛物线上位于之间的一动点（不与点重合），设点的横坐标为当为何值时，∆的面积最大，并求出其最大值； （3）在轴上是否存在点，使以点为顶点的三角形与∆相似？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直