[中学联盟]江苏省常熟市杨园中学九年级数学下册：黄金分割 学案

【学习目标】 1、探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有价值的运用；[来源:Zxxk.Com] 2、会找一条线段的黄金分割点；[来源:Zxxk.Com] 3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段. 【学习重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义. 【学习难点】怎样找一条线段的黄金分割点. 【学习过程】 一、情境创设： 1、欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值； 2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值； 3、观察“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？ 二、探索活动： 活动一、计算 （或 ）的值，引入黄金分割的概念. 把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果 ，那么线段AC被点B黄金分割.（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比） BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比. 注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；[来源:Z。xx。k.Com] （2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. （3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？ 活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形） 1、作顶角为36°的等腰△ABC；2、分别量出底边BC与腰AB的长度； 3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度； 最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001） 问：比值是多少？　 所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：（1） ； （2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； （3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形； 活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等， （1）找出图中的黄金三角形； （2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？