立体几何初步 专项训练——2022-2023学年高一下学期期末数学专项分类训练

（8）立体几何初步——2022-2023学年高一数学期末专项分类训练 1.在体积为32的棱锥中，底面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 2.已知球O是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是( ) A. B. C. D. 3.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为( ) A. B.3 C.12 D.36 4.在底面为正三角形的三棱柱中，，，该三棱柱的体积的最大值为( ) A.3 B. C.6 D. 5.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为( ) A. B. C.1 D. 6.已知正三棱台的高为1，上下底边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.100π B.128π C.144π D.192π 7.已知四棱锥中,底面是矩形,且,侧棱底面,若四棱锥外接球的表面积为,则该四棱锥的表面积为( ) A. B. C. D. 8.已知四棱锥的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的表面积等于，则球O的体积等于( ) A. B. C. D. 9.（多选）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为正方形，底面ABCD，，E、F分别为PD、AB的中点，过C、E、F的平面与PA交于点G，则( ) A. B. C.以P为球心，2为半径的球面与底面的交线长为 D.四棱锥外接球体积为 10. （多选）已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则( ) A.碳原子与氢原子之间的距离为 B.正四面体外接球的体积为 C.正四面体的体积为 D.任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为 11.如图，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的表面积为_______________. 12.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为_________. 13.如图所示，已知三棱柱的 所有棱长均为1，且底面ABC，则三棱锥的体积为________. 14.如图所示，三棱锥中，平面，E是PC的中点. (1)求证：AE与PB是异面直线. (2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值. 15.如图，已知正方体. (1)求证：. (2)M，N分别为与上的点，且，求证：. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由已知条件，得是等腰直角三角形.又，所以，所以三棱锥的体积，解得.因为，所以.又底面，底面ABC，所以.又，所以平面PAC.因为平面PAC，所以，所以，故三棱锥外接球的球心O为PB的中点.连接OA.由底面，底面ABC，得.由，易得外接球的半径，所以该三棱锥外接球的表面积.故选D. 2.答案：A 解析：如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径， 由勾股定理得棱锥的高， 设球O的半径为R，则， 解得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，所以在中，， 当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为. 故选：A. 3.答案：B 解析：轴截面如图所示，设截去的小圆锥的母线长为y， 根据相似三角形的性质，得， 解得.故选B. 4.答案：D 解析：设三棱柱的高为h，当三棱柱为直三棱柱时，其体积最大，则h的最大值为3，所以该三棱柱的体积的最大值.故选D. 5.答案：C 解析：设等边三角形ABC的边长为a，因为其面积为，所以，解得.故的外接圆半径.设球O的半径为R，因为球O的表面积为，所以，得.所以O到平面ABC的距离.故选C. 6.答案：A 解析：由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为，.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为，，连接，则，其外接球的球心O在直线上.设球O的半径为R，当球心O在线段上时，，解得（舍去）；当球心O不在线段上时，，解得，所以，所以该球的表面积为. 7.答案：D 解析：由题可将四棱锥的外接球看作是一个长方体的外接球,是长方体的体对角线,则球心是的中点.设球的半径为R,则,解得,则.如图,连接,由底面,可知.在中,,所以.在中,,,所以,所以.因为底面,所以.又,所以平面.因为平面,所以,同理可证,所以.又,所以,故选D. 8.答案：D 解析：由题意，知当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥.如图，设球