2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形

2023年中考高频压轴题突破——二次函数与三角形 1．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与轴交于两点，，直线与抛物线的另一个交点的纵坐标为1． （1）求抛物线的解析式； （2）点为线段上一点，点是延长线上一点，，点是第一象限内一点，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，设的面积为，，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，点为直线上方抛物线上一点，直线交直线于点，当时，求点的坐标． 2．已知，如图，抛物线与轴分别交于点，两点（点在点的左边），与轴交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求、、三点坐标； （2）求直线的解析式； （3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连结，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线（）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线（）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图1，连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，求出当△OEF的面积取得最小值时，点E的坐标． 4．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于，点为抛物线的顶点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点为线段下方抛物线上一点，过点作轴于点，再过点作于点，请求出的最大值； （3）如图2，过点作于点，将抛物线先向右平移单位，再向下平移个单位得到抛物线，点的对应点为点，点为第四象限内原抛物线的对称轴上的一点，若以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标，并任选一个你喜欢的点坐标书写求解过程． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标； （3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式． 8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与轴交于点B，过A、B两点作一条抛物线y＝﹣x2+bx+c，L是抛物线的对称轴． （1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在对称轴L是否存在点P，使为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求点P的坐标． 9．如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是边上一点，连接，将线段以为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点落在抛物线上，求出此时点的坐标； （3）点在线段上（与、不重合），点在线段上（与、不重合），是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，． （1）求该抛物线的函数表达式： （2）若点是轴上的点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． （3）点是抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 11．如图，以点C为顶点抛物线的图象经过，，三点，直线解析式为：，且与抛物线交于点P． （1）求抛物线的解析式 （2）线段上有点E使得直线将的面积分为1：3两部分，求点E的坐标． （3）当时，抛物线上是否存在一点M，过点M作轴干N点，使得以A，M，N三点为顶点的三角形与相似?若存在，求出点M的