2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 2．如图，已知是的弦，是的直径，为延长线上一点，，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求的面积． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BE＝16，CD＝15，求⊙O的半径． 4．如图，已知△ABC的顶点B在⊙O上． AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E，且CB平分∠ACE． （1）求证：AB是圆O的切线； （2）若BE=3，CE=4，求圆O的半径． 5．如图，Rt△ABC中，∠C=90o，BE是它的角平分线，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E． （1）试说明：AC是圆O的切线； （2）若∠A=30o，圆O的半径为4，求图中阴影部分的面积． 6．如图，△ABC的点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°，DC＝． （1）求圆心O到弦DC的距离； （2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线． 7．如图，在中，的角平分线交边于以上某一点为圆心作使经过点和点与边的另一个交点为． （1）判断直线BC与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为．求线段与劣弧所围成的阴影部分的图形面积(结果保留根号)． 8．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的平分线于点C，交AD于点F，过点C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于点E． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若＝，求cos∠DAB的值． 9．如图，已知以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交OE于点F，若AC=FC （Ⅰ）求证：AC是⊙O的切线； （Ⅱ）若BF=5，DF=，求⊙O的半径． 10．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E． 证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧的长为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求证：直线AB与⊙O相切； （2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示） 12．如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PC=3，PF=1，求AB的长． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，点O在边BC上，⊙O经过点A，B，且与BC相交于点D． （1）求证：CA是⊙O的切线； （2）若AB=2，请直接写出阴影部分的面积． 14．如图，直线l与相离，于点A，与相交于点P，．C是直线l上一点，连接并延长，交于点B，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 15．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． (1)求证：DE是半圆⊙O的切线； (2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 16．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点，若，，求的值． 17．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的圆O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E． （1）证明：DE为圆O的切线； （2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积． 18．已知，是⊙O的切线，切点为A，是⊙O的弦，过点B作交⊙O于点C，连接并延长交于点M （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，连接，过点C作交于点D，的延长线交过点C的直线于点P，且．求证：是⊙O的切线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)与相切，见解析； (2) 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判定定理证明； （2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD＝BC＝3，根据勾股定理得：，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）与相切； 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的