精品解析：北京师范大学附属实验中学2023届高三下学期5月热身练习（三模）数学试题

北师大实验中学2023届高三数学热身练习 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 1. 如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ） A. I B. II C. III D. IV 2. 在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. －3 C. D. 5. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2023年5月1日 12 35000 2023年5月15日 60 35500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A. 6升 B. 8升 C. 10升 D. 12升 6. 已知，点C在内，且.设，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 7. 设，过定点动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n很大时，（其中为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分 11. 若（为有理数），则_______________． 12. 银行储蓄卡的密码由位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后位数字，但记得密码的最后位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第次按对的概率是_________． 13. 在中，内角所对的边分别是，已知，，则_______，的值为________． 14. 已知是数列的前项和，且对任意的正整数，都满足：，若，则________，______________． 15. 已知曲线． ①若为曲线上一点，则； ②曲线在处的切线斜率为0； ③与曲线有四个交点； ④直线与曲线无公共点当且仅当． 其中所有正确结论的序号是_____________． 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16. 中，． （1）若，求； （2）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求面积 条件①：； 条件②： 17. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 18. 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 第二个周期 第三个周期 （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数； （2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量表示取出的3个数中“水站诚信度”超过的数据的个数，求随机变量的分布列和期望； （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由. 19. 已知函数． （1）当时，求的零点； （2）讨论在上的最大值； （3）是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 20. 已知椭圆，过点且不过点直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率； （Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 21. 若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P. （1）①若，写出所有具有性质P的数列； ②若，写出一个具有性质P的数列； （2）若，数列具有性质P，求的最大项的最小