课件08一元二次方程的根与系数的关系 -2023-2024学年九年级数学上册同步讲解课件（苏科版）

第1章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 目 录 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 随堂检测 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 学习目标 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2、一元二次方程的求根公式？ ( ) 一元二次方程的一般形式是： 知识回顾 新课导入 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 当　　　　　时， ； 当　　　　　时， ； 当　　　　　时， ； 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 知识回顾 填写表1 表1 探索1 新课讲解 填写表2 表2 探索2 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 归纳 你能证明该定理吗？ + = = - ● = = = 证明1：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则 证明2：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则 原方程可表示为 展开得 练一练 1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 . 例 （2）3x2 +7x-9 = 0； x1 + x2 =− ， x1 x2 = 解：这里 a = 3 , b = 7, c = -9. Δ=b2 − 4ac = 72 – 4 × 3 × (− 9) = 157 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 （3） 5x – 1 = 4x2 . 解：方程可化为 4x2 – 5x +1 =0， 这里 a =4， b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac =( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可 . 归纳 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0， 　　　　　 练一练 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 为x1，x2，则有 Δ≥0且 x1x2＞0 Δ≥0且 x1x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值大 两根异号且负根的绝对值大 结 论 知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用 2 已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值． 导引：利用两根之和与积求解 例 解： 设这个方程的另一个根为m，则 ∵m＋2＝6，2m＝q. ∴ m＝4， q＝8. 当q ＝8时，Δ=(-6)2-4×8=4＞0， ∴另一个根为4，q的值为8. 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 得 k=−7. 答：方程的另一个根是 ，k=−7.