专题05 全称量词与存在量词-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题05 全称量词和全称量词 考点目录 考点一 全称量词和全称量词命题 考点二 存在量词和存在量词命题 考点三 全称量词命题和存在量词命题的否定 考点四 全称量词命题和存在量词命题中的参数问题 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 一、全称量词与全称量词命题 1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示，读作“任意”. 2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可. 二、存在量词与存在量词命题 1.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示，读作“存在”. 2.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 3.存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为:∃∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”. 4.存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定 1.全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2.存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，存在量词命题的否定是全称量词命题． 注：（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题. （2）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题. （3）写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定. （4）全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反. 考点一 全称量词和全称量词命题 例1．（单选题）（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．任一无理数的平方是无理数 B．至少有一个实数，使 C．， D．，使 【分析】根据全称量词命题的定义排除BD，举反例排除A，根据二次函数的性质判断C即可. 【详解】对A，任一无理数的平方是无理数为全称量词命题，但可举反例的平方为2是有理数，故A错误； 对B，“至少有一个实数”表明该命题为存在量词命题，故B错误； 对C，“，”为全称量词命题，且根据二次函数的判别式可得该命题为真，故C正确； 对D，“” 表明该命题为存在量词命题，故D错误；故选：C 考点二 存在量词和存在量词命题 例2．（单选题）（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断. 【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题.故选:B. 考点三 全称量词命题和存在量词命题的否定 例3．（解答题）（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假． (1)正方形都是菱形； (2)∃x∈R，使4x-3>x； (3)∀x∈R，有x+1=2x； (4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集． 【分析】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可. 【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． （2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题． （3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题． （4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题． 考点四 全称量词命题和存在量词命题中的参数问题 例4．（单选题）（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）若命题“”为假命题，则实