2023年中考冲刺数学几何压轴题：阅读理解问题

中考数学几何压轴题：阅读理解问题 1．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 2．我们把能平分一个图形面积的直线称为该图形的“好线”．如图1，三角形的中线所在直线就是该三角形的一条好线． （1）平行四边形的好线共有　　条； （2）如图2，四边形中，取对角线的中点，连接、，再过点作交于，连接．证明：直线是四边形的“好线”； （3）如图3，为一条“好线”， 为边的一点，请作出经过点的一条“好线”，并说明哪条直线是四边形的“好线”（不擦除作图痕迹，无需说明理由）． 3．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值； （3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 4．阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得： AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下： 解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2， 同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2， 为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y， ∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=… （1）请你完成小明剩余的证明过程； 理解运用： （2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD= ； ②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ； 拓展延伸： （3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目： 如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值． 请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值． 5．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　　　　　　 ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3