第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型） 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 例1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 例2．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______． 题型1利用提公因式法 例3.方程：的较小的根是（ ） A． B． C． D． 例4.解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 题型2利用平方差公式 例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 例6.解关于的一元二次方程：． 题型3利用完全平方公式 例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 题型4十字相乘法因式分解 例8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______． 例9．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________． 例10．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____． 例11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______． 题型5：选择合适的方法解一元二次方程 例12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 例13.用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型6：换元法与因式分解综合解一元二次方程 例14．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． 仿照上面方法，解方程：． 例15．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 例16．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根：，，，． 请参照例题，解方程． 一、单选题 1．（2022秋·江苏·九年级期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（    ） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6 2．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）方程的根可以是（） A． B． C． D． 4．（2020秋·江苏苏州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有