第02讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式 【考试要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【易错点提醒】 (1)平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）.． (2）诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在象限的符号. 1.下列判断中正确的个数是（ ） (1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝. (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (4)若α∈R，则tan α＝恒成立． A0 B 1 C 3 D 4 2．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B. C．－2 D．2 3、(多选题)已知x∈R,则下列等式恒成立的是 (　　) A.sin(-x)=sin x B.sin=cos x C.cos=-sin x D.cos(x-π)=-cos x 4.sin 2 490°＝　　　　，cos＝　　　　.  考点一　同角三角函数的基本关系 角度1 简单求值 例1 已知sin α=-,则13cos α+12tan α=　　　　　.  【对点演练1】已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝　　　　.  角度2 sin α，cos α的齐次式问题 例2已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ . 【对点演练1】(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　) A. B．－ C．－3 D．3 【对点演练2】已知3sin2α-4sin αcos α+1=0. (1)求tan α的值; (2)求的值. 角度3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用 例3(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ 【对点演练1】若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【对点演练2】已知α∈[0,2π),cos α+3sin α=,则tan α= (　　) A.-3 B.3或 C.3 D. 【对点演练3】若，则（ ） A. B. C. D. 考点二 诱导公式的应用 角度1 化简 例4（2023贵阳四校联考）化简： ＝　　　　；  （2）已知cos＝a，则cos＋sin＝　　　　.  【对点演练1】化简的结果是 （　　） A.－1 B.1 C.tan α D.－tan α 2.sin（－1 200°）cos 1 290°＝　　　　.  角度2 求值 例5 （1）sin 的值等于 (　　) A. B.- C. D.- (2)已知sin＝，且0<x<，则sincos的值为 ． 【对点演练】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),∠BOx=,记∠AOB=θ,则cos= (　　) A.- B. C.- D. 考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例 6已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A. B. C. D. (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.则＝ . 【对点演练1】　(1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α等于(　　) A. B. C. D．2 【对点演练2】（2023·苏州八校联考）已知f（α）＝