第01讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第1讲　 任意角、弧度制及任意角的三角函数 讲义设计思维导图： 【考试要求】 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 1.角的概念的推广 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形； （2）分类： （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 （1）定义：长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示； （2）公式 角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示） 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 弧长公式 l＝ 扇形面积公式 S＝ ＝ 3.任意角的三角函数 （1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝（x≠0）； （2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）； （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 【易错点提醒】 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． (2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 1.下列判断中正确的个数是（ ） （1）小于90°的角是锐角. （　　） （2）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角. （　　） （3）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关. （　　） （4）不相等的角的终边一定不相同. （　　） （5）终边相同的角的同一三角函数值相等. （　　） A 1 B 2 C 3 D 4 2、（多选）下列结论正确的是( ) A－是第三象限角． B若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－. C若sin α>0，则α是第一或第二象限角． D若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为. 3、下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（　　） A.2kπ＋45°（k∈Z）　　　B.k·360°＋（k∈Z） C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋（k∈Z） 4、已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. 5、一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为　　　　.  考点一　角的集合表示及象限角的判定 角度1 终边相同的角 例1.（1）（多选）下列命题正确的是 （　　） A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z} C.第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z} D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° （2） 与－2020°终边相同的最小正角是________. 【对点演练1】若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 【对点演练2】在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 角度2 象限角的判断 例2(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 【对点演练】“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 扇形的弧长及面积公式 角度1 公式的简单应用 例3已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝ 　　　　，圆心角θ＝　　　　.  【对点演练】已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有(　　) A．扇形的半径可能为2 B．扇形的半径可能为1 C．圆心角的弧度数可能是1 D．圆心角的弧度数可能是2 角度2 最值问题 例4 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r. (1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； (2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【对点演练】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(