2.7全等模型（2）（含pdf版）-2023-2024学年升初二（新八年级）数学暑假衔接教材（人教版）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ❊2.6 全等模型（2） 考点先知 知 识 考 点 半角旋转模型 1.半角旋转模型 手拉手模型 2.手拉手模型 题型精析 知识点一 半角旋转模型 内容 如图所示，四边形 ABCD是正方形，∠MAN=45°，延长 CB至 E，使得 BE=DN，则△ABE≌△ADN，△AME≌△AMN，且 BM+DN=MN. 如图所示，AB=AC，∠BAC=2∠EAD，过 A点作 AF，使得∠BAF= ∠CAD，则△ABF≌△ACD. 题型一 角平分线的性质 例 1 已知正方形 ABCD中， 45MAN  ，且 MAN 的两边分别交 BC、DC于点M 、N．试猜想线 段 BM 、 DN 和MN 之间的数量关系，写出猜想，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 例 2 已知：正方形 ABCD中， 45MAN  ， MAN 绕点 A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或 它们的延长线）于点M ， N． （1）当 MAN 绕点 A旋转到 BM DN 时（如图1)，求证： BM DN MN  ； （2）当 MAN 绕点 A旋转到 BM DN 时（如图 2)，则线段 BM ，DN 和MN 之间数量关系是_________； （3）当 MAN 绕点 A旋转到如图 3的位置时，猜想线段 BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系呢？ 并对你的猜想加以说明． 变 1 （1）如图①，在正方形 ABCD中， E、 F 分别是 BC、DC上的点，且 45EAF  ，连接 EF ， 探究 BE 、DF、 EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形 ABCD中， AB AD ， 180B D   ， E、 F 分别是 BC、DC上的点，且 BADEAF  2 1 ，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 变 2 （1）如图①，在四边形 ABCD中， AB AD ， 90B D    ，E、F分别是边 BC、CD上的点， 且 BADEAF  2 1 .求证： EF BE FD  ； （2）如图②，在四边形 ABCD中， AB AD ， 180 ADCB ，E、F分别是边 BC、CD延长线上的 点，且 BADEAF  2 1 ，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间 的数量关系，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 知识点二 手拉手模型 内容 如图所示，AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=α，则△AED≌△ACB， 且 ED与 BC的夹角为“α”，且 AP平分∠EPB. 【注意】手拉手模型的特点有：共顶点，且共顶点的两个三角形均为等腰三角形（亦可为等边三角形 或正方形或矩形），且共顶点的两个顶角相等. 题型二 手拉手模型 例 1 已知：如图 1，在 ABC 和 ADE 中， C E   ， CAE DAB  ， BC DE ． （1）请说明 ABC ADE ≌ ． （2）如图 2，连接CE和 BD，DE， AD与BC分别交于点M 和N， 56DMB  ，求 ACE 的度数． 例 2 如图，在 AOB 和 COD 中，OA OB ，OC OD ，若 60AOB COD    ． （1）求证： AC BD ． （2）求 APB 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 变 1 如图所示，已知 AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段 EC与 BF数量关系和位置关系， 并给予证明． 变 2 如图， ABC 和 DCE 都是等边三角形． （1）如图 1，线段 BD与 AE是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由． （2）如图 1，若 B、C、 E三点在一条直线上， AE与 BD交于点O，求 BOE 的度数． 例 3 如图，C 为线段 AB上一动点（不与点 A、 B重合），在 AB的上方分别作 ACD 和 BCE ，且 AC DC ，BC EC ， ACD BCE   ，AE、BD交于点 P．有下列结论：① AE DB ；② 2APB ADC   ； ③当 AC BC 时， PC AB ；④ PC平分 APB ．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填 上） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 例 4 如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接 AC， BD交于点 M，连接 O