2.6-全等模型（1）（含pdf版）-2023-2024学年升初二（新八年级）数学暑假衔接教材（人教版）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 ❊2.6 全等模型（1） 考点先知 知 识 考 点 中点模型 1.中点模型-倍长中线 角平分线模型 2.角平分线模型-截长补短 一线三等角模型 3.一线三等角模型，一线三直角模型 题型精析 知识点一 中点模型-倍长中线 内容 如图所示，D为 BC边上的中点，将中线延长并使得 AD=DE（即倍长中 线），则△ADB≌△EDC（SAS）. 题型一 角平分线的性质 例 1 在 ABC 中， 4AB  ， 6AC  ， AD是BC边上的中线，则 AD的取值范围是（ ） A．0 10AD  B．1 5AD  C． 102  AD D．0 5AD  变 1 在 ABC 中， 8AB  ， 6AC ，则 BC边上的中线 AD的取值范围是____________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 例 2 辰萱同学遇到这样一个问题：如图1， ABC 中， 6AB  ， 4AC  ，AD是中线，求 AD的取值范 围．她的做法是：延长 AD到 E，使DE AD ，连接 BE，证明 CADBED  ，经过推理和计算使问题得 到解决．请回答： （1）求出 AD的取值范围； （2）如图 2， AD是 ABC 的中线，在 AD上取一点 F ，连结 BF并延长交 AC于点 E，若 AE EF ，求 证： BF AC ． 变 2 如图，在△ABC中，AB＞AC，E为 BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过 E作 AD的平行线， 交 AB于 F，交 CA的延长线于 G．求证：BF=CG． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 例 3 规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA OB ，OC OD ， 90 CODAOB ，回答下列问题： （1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． （2）取 BD的中点 P，连接OP，请证明 2AC OP ． 例 4 如图 1，在△ABC中，若 AB=10，BC=8，求 AC边上的中线 BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长 BD至 E，使 DE=BD，连接 CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线 BD的取值范围是____________． （2）问题拓展：如图 2，在△ABC中，点 D是 AC的中点，分别以 AB，BC为直角边向△ABC外作等腰 直角三角形 ABM和等腰直角三角形 BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接 MN．请 写出 BD与 MN的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 变 3 （1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC中，AB=8， AC=6，求 BC边上的中线 AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图 2）， ①延长 AD到 M，使得 DM=AD； ②连接 BM，通过三角形全等把 AB、AC、2AD转化在△ABM中； ③利用三角形的三边关系可得 AM的取值范围为 AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到 AD的取值范围是 ____________； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图 2中 AC与 BM的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图 3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，请直接利用（2） 的结论，试判断线段 AD与 EF的数量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 知识点二 角平分线模型-截长补短 内容 如图所示，BD是∠ABC的角平分线，且 BC>BA. 【截长】在 BC 上作一点 E，使得 BE=BA，则△ABD≌△EBD. 【补短】延长 BA 至 E，使得 BE=BC，则△EAD≌△CBD. 题型一 角平分线的性质 例 1 如图，已知在四边形 ABCD中，BD是 ABC 的平分线， AD CD ．求证： 180A C   ． 例 2 如图，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若 AC+CD=AB，求∠C的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 变 1 已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线 AD交 BC边于点 D．求证：AC=AB+BD． 变 2 如图所示，在四边形 ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，则∠A+∠C的度数是______ 度． 例 3 如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线 CD交 AB于点 D，已知 A