6.3.1二项式定理 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第六章 计数原理 6.3.1 二项式定理 一 二 三 学习目标 能用计数原理证明二项式定理 掌握二项式定理及其展开式的通项公式 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 新课导入 引导语 在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉及开三次方等计算．就古代的开方算法而言，二项式系数是极为重要的． 早在13世纪北宋数学家贾宪所首创"算术三角形"（俗称"杨辉三角"，记载于杨辉著《详解九章算法》中）就能很好地解决开方算法问题，由此建立了二项式定理． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角. 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右. 本节课，我们共同来探究这个课题，感受古代数学家的智慧，感悟数学的魅力. 一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一 新知探究 问题1 我们知道， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. (1) 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律? (2) 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗? (3) 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗? (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 追问 上述两个等式的右侧有何特点？ 的展开式有 项，每一项的次数为 的展开式有4项，每项的次数是3； 的展开式有5项，每一项的次数为4. ②各项中a与b次数之和呈现什么规律? ①展开式中各有多少项? ③各项的系数是什么? (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项. 于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有＝22项，而且每一项都是a2－k×bk (k＝0,1,2)的形式. 新知探究 我们先来分析的展开过程, 根据多项式乘法法则 问题2 如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数 ，即a2只有1个； 由1个 (a+b) 中选a，另1个 (a+b) 中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取1个b的组合数 ，即ab共有2个. 由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取2个b的组合数 ，即b2只有1个. 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数 新知探究 考虑b 由以上分析可以得到： a3 a2b a2b a2b b3 ab2 ab2 ab2 展开式共有： 项的形式： 新知探究 问题3 同样地，如何利用分步乘法计数原理解释(a＋b)3 的展开式？ 由以上分析可以得到： a4 a3b ab3 b4 a2b2 问题4 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4 的展开式吗？ 展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？ 新知探究 项 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b 系数 C4 0 C4 1 C4 2 C4 3 C4 4 问题4观察下面式子，你能猜想(a+b)n的展开式吗？ 新知探究 ①项： ②系数： 探究：请分析(a+b)n 的展开过程 L L 新知探究 10 每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2