第14讲 二次函数及根的分布-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第十四讲 二次函数及根的分布 【教学目标】 1. 掌握二次函数的性质与图像并能简单应用； 2. 掌握二次函数的最值求法； 3. 掌握二次函数对应方程的根的分布. 【应知应会】 一、复习引入 在初中阶段，我们已经学习过二次函数和（）的图像和部分性质，那么高中阶段我们又会重点研究二次函数的什么问题呢？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 （一）二次函数的定义 形如（）的函数叫二次函数（quadratic functions）. 【注】（1）决定开口方向，开口大小：与图像“全等”； （2）影响对称轴（）【同左异右】和顶点坐标（，）； （3）决定与轴的交点. （二）二次函数的图象 1. 画出、和的图像. 2. 画出和的图像. （三）二次函数的性质 1. 定义域： 2. 值域：，；， 3. 单调性：，在区间上严格减，在区间严格增； ，在区间上严格增，在区间严格减 4. 对称性：关于直线成轴对称图形 5. 最值：，；， 6. 与坐标轴交点： （1）与轴交点：（，） （2）与轴交点：，两个不同的交点；，一个交点；，没有交点 定义 对于函数，，如果存在实数，使得 ， 我们就把叫做该函数的零点. 【零点不是点，是数】 （四）二次函数的最值求法 核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论. 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值. 分析：将配方，得对称轴方程 （1）当时，抛物线开口向上 若，则必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若，此时函数在上具有单调性，在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值. （2）当时，同上. 综上，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： （1）当时， （2）当时， （五）韦达定理与根（零点）的分布 1. 韦达定理：一元二次方程的两个根为，那么，. 【注意】解题过程中不能忽视对方程的判别式进行判断. 2. 二次函数对应方程根的分布（实根；）【两根异号】 一个 图像 等价条件 （1）不同区间，只看端点 （2）同一区间，要看三点：（开口方向），对称轴，区间端点 三、典型例题 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1. 求值域：（1）， （2）， 例2. 设常数，则在区间的最大值为 . 例3. 已知函数在区间上有最小值3，求的值. 例4. 若和分别是一元二次方程的两根. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 例5. 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围. （1）方程两实根均为正数； （2）方程有一正根一负根. 例6. 若关于的方程的一个根大于1、另一根小于1，求实数的取值范围. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 函数在上的最大值为________，最小值为________. 2. 已知函数，若是其零点，则实数k的值是________. 3. 函数的最大值是________；最小值是________. 4. 若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是________. 5. 若函数没有零点，则实数的取值范围是________. 6. 函数的零点个数是………………………………………………………………（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 7. 函数的图像关于直线对称的充要条件是………………………………（ ） A. B. C. D. 8. 已知两根均在，求实数的取值范围. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 函数的最大值是________，此时________. 2. 若函数，的最大值为M，最小值为N，则________. 3. 函数在上的最大值是 . 4. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 . 5. 若函数在内有一个零点，则实数的取值范围是 . 6. 函数在定义域内有……………………………………………………………（ ） A. 最小值1 B. 最大值1 C. 最小值5 D. 最大值5 7. 已知函数有两个不同的零点，且一个零点在区间内，另一个在区间，求实数的取值范围. 8. 已知函数. （1）若有三个零点，求实数的值； （2）若有零点，求实数