第06讲 一元二次不等式的解法-2023年暑假高一数学沪教版同步精品讲义（上海专用）

第六讲 一元二次不等式的解法 【教学目标】 1. 掌握一元二次不等式的解法； 2. 知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组； 3. 厘清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； 4. 学会用区间的形式表示不等式的解集. 一、应知应会 【难度系数：★★   参考时间：10 min】 （一）知识回顾 1. 作差法比较两个实数的大小； 2. 不等式的基本性质. （二）典例测试 1. 设，且则与的大小关系是 . 2. ，则从小到大的排列是 . 3. 已知，则的取值范围是 . 4. 是互异的四个正数中最大的数，且 ，则与的大小关系是 . （三）引入 以前我们学习过一元一次不等式的解法，结合一次函数的图像我们能够得到一元一次不等式解集如下： （1）当时，一元一次不等式的解集是，一元一次不等式的解集是. （2）当时，一元一次不等式的解集是；一元一次不等式的解集是. 一元二次不等式的形式是怎么样的呢？又如何求解呢？ 二、知识梳理 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 （1）一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式（second oRdeR inequality with one unknown），它的一般形式为或. （2）一元二次不等式的解法 法1：把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 法2：利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，研究不等式在、和时各种解集的情况. 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两实根 或 有两相等的实根 【重根】 无实根 不等式 的解集 【两根之外】 不等式 的解集 【两根之间】 思考：若，则一元二次不等式及其解集如何？ 三、典型例题 【难度系数：★★   参考时间：30 min】 例1. 求不等式的解集（1）； （2）. 例2. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【小结】解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负，再看判别式，最后比较根的大小. 解集要么为【两根之外】，要么为【两根之间】. 具体地： ①设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为：或（两根之外） ②设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为： （两根之间） 【注】①若不等式中，可在不等式两边乘转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行；②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法. 例3. 解关于的不等式： （1） （2） 【小结】解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于： ①不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向； ②由含参数的判别式，决定解的情况； ③比较含参数的两根的大小. 例4. 解不等式组：. 【注】解不等式时，要注意不等式的解集的处理，看清楚是取交集还是并集，然后借助数轴，并注意区间的开闭性及其正确表示. 例5. 某服装公司生产的衬衫， 每件定价80元， 在某城市年销售8万件. 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫. 代理商要收取代销费， 代销费为销售金额的（即每销售100元收取元）. 为此， 该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润， 由于提价每年将少销售万件， 如果代理商每年收取的代理费不小于16万， 求的取值范围. 例6. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 例7. （1）已知， I. 如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； II. 如果对，恒成立，求实数的取值范围. （2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 1. 不等式的解集是 . 2. 不等式的解集是，则实数 ， . 3. 二次函数部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式的解集是 . 4. 关于的不等式的解集只有一个元素，则实数 . 5. 不等式的解集是……………………………………………………………… （ ） A. B.