第08讲 极值点偏移与隐零点问题-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第8讲 极值点偏移与隐零点问题 讲义设计思维导图： 命题分析 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大． 类型一 极值点偏移问题 （1） 极值点偏移的概念 已知函数是连续函数,在区间内只有一个极值点,,且在与之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同,使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有这种情况称为极值点偏移. （2） 极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数存在两个零点且,求证:为函数的极值点): (2)函数中存在且,满足,求证:为函数的极值点; (3)函数存在两个零点且,令,求证:; (4)函数中存在且,满足,令,求证:. （3） 极值点偏移问题的处理策略： 方法1 构造对称函数 例1（2023湖北校联考三模）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若，在内存在不等实数，使得，证明：． 【对点演练】（2023辽宁大连二十四中校三模）已知函数. (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且，证明：. 方法2 换元构造 例2已知,若有两个零点, 求证:(1);（2） 【变式演练】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若,设为的导函数,若函数有两个不同的零点,求证:. 方法3 巧设变量 例3（2023山西阳泉统考三模）已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：. 【对点演练】已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点。求证：（1）求的取值范围； （2）。 方法4 合理转化 例4（2023山东日照二模）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 【对点演练】(2021新高考Ⅰ卷22题节选)已知函数f(x)=x(1-ln x).设a,b为两个不相等的正数,且bln a-aln b=a-b,证明:2<+<e. 类型二 隐零点问题 隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策略是判断单调性，合理取点判断符号，再结合零点存在定理处理。 考向1 隐零点个数的判断与证明 例5（2023浙江温州三模节选）已知函数. 证明：函数在上有且只有一个零点； 【对点演练】（2023黑龙哈师大附中三模）已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 考向2已知隐零点个数求参数范围 例6（2023浙江杭州高二期末）已知函数（k为常数，且）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 【对点演练】已知函数. （1）讨论在定义域上的单调性； （2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围. 考向3隐零点的应用 例7（2023四川成都阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【对点演练1】　(2023潍坊模拟)设函数f(x)＝x－aln x－2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，f′(x)为f(x)的导函数，当x>1时，ln x＋1>(1＋k)f′(x)，求整数k的最大值． 【对点演练2】（2023山东枣庄高三期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求证在上存在极值点，且. 1．（多选）（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知函数，则（    ） A．有一个零点 B．在上单调递减 C．有两个极值点 D．若，则 2.已知函数,且(其中为自然对数的底数). (1)求函数解析式; (2)判断的单调性; (3)若有两个不相等实根,证明:. 3.（2023江西南昌一模）已知函数． (1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围； (2)若，，方程有几个解？ 4.已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)． (1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex－x－4 .(其中e为自然对数的底数) 5. 已知函数，若方程有两个不相等的实根，求证：． 6.（2022山东济宁高三期中）已知函数，. (1)若的最大值是1，求的值； (2)若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围. 7．（2023山东聊城二模）已知函数，设m，n为两个不相等的正数，且. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：. 8.（2023·东泰安二模）已知函数，. (1)当时，讨论方程解的个数； (2)当时，有两