第06讲 导数与不等式的恒（能）成立问题-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第6讲　 导数与不等式恒（能）成立问题 讲义设计思维导图： 命题分析 “不等式恒（能）成立问题”是高考的热点内容，其频繁出现在历年的高考中，这类题把不等式、函数、导数等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。 另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。 题型一 单变量不等式恒（能）成立问题 考向1 单函数单变量型 角度1 分类讨论 等价转化 例1(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求实数m的取值范围． 【对点演练】(2023·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其导函数，其中a∈R. (1)若f(x)在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围； (2)若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范围． 角度2 分离参数，探求最值 例2（2023·重庆模拟）已知函数f（x）＝－（m＋1）x＋mln x＋m，f'（x）为函数f（x）的导函数.若xf'（x）－f（x）≥0恒成立，求m的取值范围. 【对点演练1】（2023·石家庄模拟）已知函数f（x）＝axex－（a＋1）（2x－1），当x＞0时，若函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围. 【对点演练2】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在，使成立，求a的取值范围. 角度3等价转化 例3已知函数f（x）＝x3－x2sin α＋x＋1，α∈，证明：存在α∈，使得不等式f（x）＞ex有解（e是自然对数的底数）. 【对点演练】若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围. 角度4 同构变形 构造函数 例4（2023山东部分学校联考）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________. 【对点演练】当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 考向2 双函数单变量型 例5.已知函数f（x）＝ax－ex（a∈R），g（x）＝，若∃x∈（0，＋∞），使不等式f（x）－g（x）＋ex≤0成立，求a的取值范围. 题型二：双变量不等式恒（能）成立问题 考向1 单函数双变量型 角度1：转化为函数的单调性问题 例6已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax． (1)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)； (2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围. 【对点演练1】已知函数f(x)＝lnx＋ax2－3x． (1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，求函数f(x)的极小值； (2)若a＝1，对于任意x1，x2∈[1，10]，当x1<x2时，不等式f(x1)－f(x2)>恒成立，求实数m的取值范围． 角度2 转化为最值问题 例7已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围． 考向2双函数双变量型 角度1构造单调函数法 例8已知函数f(x)＝x－1－aln x(a∈R)，g(x)＝． (1)当a＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若a<0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4×|g(x1)－g(x2)|，求实数a的取值范围． 【对点演练1】设f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x． (1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值； (2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围． 角度2：转化为最值问题 例9(2023·石家庄质检)已知函数f(x)＝ax2ln x与g(x)＝x2－bx. (1)若f(x)与g(x)在x＝1处有相同的切线，求a，b，并证明f(x)≥g(x)； (2)若对∀x∈[1，e]，都∃b∈使f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围． 【对点演练1】(2023·镇江模拟)已知函数f(x)＝aln x－x(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，设g(x)＝x－ln x－1，若对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有f(x1)<g(x2)