2023年九年级冲刺中考数学几何压轴题：四边形问题

中考数学几何压轴题：四边形问题 1．【课本再现】 (1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．    【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段的长度． 2．如图1，在边长为1的正方形中，E是上的动点，连接，点F在线段上，连接．点G是的中点，以，为邻边构造，其中，分别交于点M，N．    (1)求的长． (2)当点F为的中点时，求的值． (3)如图2，已知点F满足． ①若的面积等于四边形的面积，求的值． ②当的一边所在的直线恰好经过正方形的顶点B或C时，求的值． 3．已知和中，，，，绕点B旋转，连接，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)如图，当点D在线段上时，请直接写出线段和的数量关系；    (2)如图，当点D不在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由；    (3)若，，当四边形AEDF是矩形时，请直接写出的长． 4．如图①，在正方形中，点为中点，连接，交正方形对角线于点．点为正方形边上的点，连接并延长，交于点． (1)如图①，若，，则______． (2)如图②，若，试判断线段和之间存在怎样的关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，点为的角平分线所在直线上的点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接并延长，交于点．若，，请直接写出此时的面积． 5．如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是，是过点的直线，分别交、于点、，且在运动过程中始终保持，连接、、，交于点，两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题：    (1)证明：是上的不动点，并确定其位置； (2)设五边形的面积为，求关于的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．   　　 　　 (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，请判断图1中是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，______，______； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 7．已知的边在x轴上，点B坐标、点C坐标．点P是x正半轴上一个动点，轴，交边或射线于点Q，以为底边在其右边作等腰直角． (1)求的值． (2)如图1，连结AC，当点G在上，证明：点Q与点C重合． (3)如图2，连结，当是直角三角形时，求点P的坐标． (4)设三角形GPQ与的重合部分面积为S，令，当点P从点O运动到点A时，求面积S与m的函数关系式． 8．已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点是轴负半轴上一点，四边形是菱形． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，连接，点是线段上一点（点不与点、点重合），连接，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，直线经过点，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点、点，点是线段的中点，点是线段上一点，连接，当四边形是矩形时，求的面积． 9．已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．    (1)如图1，求证：； (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 10．已知：如图，中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点，过作，垂足是，设运动时间为 解答下列问题：    (1)当为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形的面积是平行四边形的面积的一半？若存在，求出相应的值；若不存在，说