专题7.5 正态分布（3类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.5 正态分布 【基础知识】 1 【考点1：正态曲线的性质】 2 【考点2：正态分布的概率】 6 【考点3：正态分布的实际应用】 9 【基础知识】 【知识点：正态分布】 1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： 2．正态分布 定义及 表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2) 三个常 用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4 [方法技巧] 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．　　 　[方法技巧] 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．　 【考点1：正态曲线的性质】 【知识点：正态曲线的性质】 1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．4 3．（2023·全国·高二专题练习）某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差．已知，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 4．（2021春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（    ） A． B． C．对任意正数t， D．对任意正数t， 5．（2023·辽宁·校联考一模）随机变量且，随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023秋·江苏·高三统考期末）若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．不随的变化而变化 D．随的变化而变化 7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（    ） A．越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大 B．该产品的质量指标值大于的概率为 C．该产品的质量指标值大于的概率与小于的概率相等 D．该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等 8．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 9．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量，且，则___________ 10．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从正态分布，若，则实数______． 【考点2：正态分布的概率】 【知识点：正态分布的概率】 1．（2021春·河北衡水·高二校联考阶段练习）若，则（    ） （参考数据：，） A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865 2．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·北京通州·高二统考期末）假设随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，关于随机变量X，Y有以下三个结论：①；②；③．其中正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（    ） [附：若，则， ．] A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413 5．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知随机变量，且，则___________ 6．（2023春·上海