专题11 一元线性回归模型及其应用-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题11 一元线性回归模型及其应用 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：一元线性回归模型 考点二：求经验回归方程 考点三：利用经验回归方程进行预测 考点四：残差与残差分析 考点五：残差平方和与决定系数R2 考点六：对数回归模型y＝c1＋c2ln x 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 1.一元线性回归模型：我们称为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 2.最小二乘法：我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计， 其中＝＝， ＝－. 3．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 4．残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 5．残差平方和法 残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． 6．决定系数R2 可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差． 【方法技巧】 1．求经验回归方程的方法 (1)公式法：求出b，a的最小二乘估计，． (2)待定系数法：利用经验回归直线过(，)求，． 2．经验回归方程的应用 (1)进行预测：把经验回归方程看作一次函数，求函数值． (2)判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是参数． 3.“R2、残差图”在回归分析中的作用 (1)R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好． (2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高． 4.求非线性经验回归方程常见转化类型： (1)反比例函数y＝a＋可作变换t＝，得y＝a＋bt. (2)幂函数型y＝axb(a＞0) 可作变换Y＝ln y，m＝ln a，t＝ln x，则有Y＝m＋bt. (3)指数型函数y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0) 可作变换Y＝ln y，m＝ln k，则有：Y＝m＋(b ln a)x 二、【基础考点】 【考点一】一元线性回归模型 【典例1】(多选)已知变量x，y之间的经验回归方程为＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是(　　) x 6 8 10 12 y 6 M 3 2 A.变量x，y之间呈负相关关系 B.m＝4 C.可以预测，当x＝11时，y约为2.6 D.由表格数据知，该经验回归直线必过点(9，4) 【典例2】若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　) A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 【考点二】求经验回归方程 【典例1】某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求经验回归方程. 【典例2】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示. 年份x 2018 2019 2020 2021 2022 储蓄存款额y /千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 017，z＝y－5，得到下表. t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程. 【考点三】利用经验回归方程进行预测 【典例1】某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力. 参考公式：＝，＝－ 【