微专题5 几何体的截面或交线 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

难点突破4：立体几何中的截面或交线问题 1.空间几何体截面的作图主要原理：两个基本事实及两个性质. 两个基本事实为： (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线； (2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内. 两个性质为： (1)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交， 那么这条直线就和交线平行； (2)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 所需知识应用 难点突破：立体几何中的截面或交线问题 温故练一练:若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 解析　如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH. ∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD， ∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD， ∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH. ∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH. 所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条. 2.立体几何中的截面类型 (1)平面截球：圆面. (2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形. (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形. 空间几何体的截面作图主要作法：(1)直接法； (2)平行线法；(3)延长法；(4)辅助平面法.　 3.截面的作法 所需知识应用 练一练2:(多选)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是(　 　) 解析　对于选项A，过BD1，作平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E， 因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE， 平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF. 故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误； 练一练2:(多选)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是(　 　) 对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此B正确； 对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D， 又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确； 对于选项D，当F点到线段BD1的距离最小时，平行四边形BFD1E的面积最小， 此时点E，F分别为AA1，CC1的中点， 因此D正确.故选BCD. 例1 已知棱长为a正方体A1B1C1D1－ABCD，E，F，H分别是A1B1，B1C1，AD的中点，试过三点E，F，H作截面,并求截面面积. 解　如图，连接EF，并且延长，与D1A1，D1C1的延长线分别交于N，R两点， 连接NH并延长分别交AA1和 D1D的延长线于S，T， 连接TR分别交CD，CC1于M，G， 顺次连接点E，F，G，M，H，S，E， 则六边形EFGMHS就是所作截面. A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 延长C1M交CD的延长线于P，延长C1N交CB的延长线于Q， 连接PQ交AD于E，AB于F，连接NF，ME， 则正方体的过M，N，C1的截面图形是五边形.故选C. 变式2: 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　) A.矩形 B.三角形 C.正方形 D.等腰梯形 解析　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G， 由题意得GH∥EF，AH∥A1F， 又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， 所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF， 又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF. 故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1， 显然为等腰梯形. D 练一练: 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　) 解析　如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME， 易知EF∥B1D1∥BD∥MN，AB∥ME，AB＝EM， 所以四边形ABEM为平行四边形， 则AM∥BE， 又BD和BE为平面BD