1.4.2充要条件学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

知源高中五环乐学课堂《学案》 高一数学 编号：学案I06使用时间：2022年9月10日 主笔人：易朝 审核人：汤立军 1.4.2　充要条件 ※课时学习素养目标※ 1． 使学生正确理解充要条件的概念，培养数学抽象的核心素养(重点) 2． 会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养（难点） ※学习过程※ 【导】 你还记得逆命题的概念吗？ 下列：“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与他们的逆命题都是真命题？ （1） 若两个三角形的两角和其中一角所对的边长分别相等，则这两个三角形全等； （2） 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3） 若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则ac<0 ； （4） 若A∪B是空集，则A与B均为空集。 【学】 新知一：充要条件 如果“若 ，则 ”和它的逆命题“ 若 ,则 ”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 .此时， 既是 的充分条件，又是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件.概括地说，如果 ,那么 与 互为充要条件. 新知二：命题p与q的四个关系 （1）如果原命题“若”为真，逆命题“若”为假，即，那么我们就说：____________________________ （2）如果原命题“若”为真，逆命题“若”为真，即 ，那么我们就说：__________________________ （3）如果原命题“若”为假，逆命题“若”为真,即 ，那么我们就说：________________________ （4）如果原命题“若”为假，逆命题“若”为假,即 ，那么我们就说：_____________________________________ 【展与评】 例1.下列各题中，哪些是的充要条件？ （1） 四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 （2） 两个三角形相似，两个三角形三边成比例 （3） （4） 思考：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 例2 设a,b,c∈R, 证明：a²+b²+c²=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c. [方法总结] 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 【检】 1．设条件甲为0<x<5；条件乙为|x|<5，则条件甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．____是“x<5”的充分不必要条件，“x<5”是____的充分不必要条件 A．“x<3” B．“x<8” C．“x>3” D．“0<x<1” 3.在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一： （1）若pq ,但qp，则称p是q的 ________________________条件； （2）若pq，但qp，则称p是q的 _______________________ 条件； （3）若pq，且qp，则称p是q的 ____________________ 条件. （4）若p q , 则p 与 q互为________________________ 条件. 4证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD ※课堂小结※ ※课后反思※ 高一数学 第1页（共4页） 高一数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $