2.2 基本不等式（第1课时）同步学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

知源高中五环乐学课堂《学案》 高一数学 必修一 编号：02 使用时间：2022年9月16日(周五) 主笔人：张慕 审核人：张衍 试做人：熊丹 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (第1课时） 课时学习素养目标：1.理解基本不等式 （ , ,当且仅当 时,等号成立）.2.能利用基本不等式求最值，培养数学运算的核心素养.3.能利用基本不等式解决实际问题，培养数学建模的核心素养.自 ·必识 导 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能得出什么样的结论？ 思：新知一 基本不等式的定义 ， ，有 ，当且仅当 时，等号成立. 特别地，如果 ， ，我们用 ， 分别代替上式中的 ， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立. 通常称 为基本不等式。其中， 叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 自主思考1. 基本不等式怎样证明？ 探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 提示： (1)表示哪个线段？ (2)对应哪个线段呢？（3）半径与CD的大小关系如何？ 议：探究点一 对基本不等式的理解 例1. （1）已知 a，b>0 ，则下列不等式一定成立的是( ) A. ≤ B. (a−b)2>1 C. a+b≥2ab D. a+b≥2 （2）不等式 中等号成立的条件是( ) A. B. C. D. 1 探究点二 利用基本不等式求最值 例2. 已知 ，求 的最小值 例3. 已知 , 都是正数，求证： （1）如果积 等于定值 ,那么当 时,和 有最小值. （2）如果和 等于定值 ,那么当 时,积 有最大值 新知二 两个重要结论 已知 都是正数， （1）如果积 等于定值，那么当 时，和 有最小值 . （2）如果和 等于定值，那么当 时，积 有最大值 . 和定积最大，积定和最小 自主思考2. 当 时，你能求出 的最小值吗？ 解题感悟 基本不等式求最值的三个条件： 1.一正：符合基本不等式 成立的前提条件为 , . 2.二定：不等式的一边转换为定值. 3.三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可. 迁移应用1. （1） 若x>0，求y=3x+的最小值； （2）已知，求的最大值 （3）已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A.1 B. C. D.4 探究点三 利用基本不等式证明不等式 例4. 已知 , , 都是正数，求证： ； 解题感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. （2）注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明问题可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用. 迁移应用2. 已知x,y,z都是正数，求证：(x+y)(y+z)(z+x)8xyz . 【检】 1. 已知 , ,且 ,那么 的最小值是( ) A.4 B. C. D. 2. 不等式成立的前提条件为           3. 若 ， ，则 （填“＞”“＜”“≥”或“≤”）. 4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为 、 、 ，则三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为 . 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $