2023年九年级冲刺中考数学几何压轴题：动态几何问题

中考数学几何压轴题：动态几何问题 1．小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究． 【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E， F运动时间为t秒． (1)【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且，连接BE、CF交于点M，求证：．请你先帮小明加以证明． (2)如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 cm． (3)如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中． ①试说明点D在△CME的外接圆O上； ②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围． 2．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长． 3．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一股的方法探究这个问题． (1)特例探究： 填空：如图3，当＝30°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 ；如图4，＝45°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 ； (2)一般结论： ①将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由； ②如图4，在Rt△ABC中，若AB＝6，＝45°，AP＝4，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转角（0°＜＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值． 4．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是/秒，灯B射出的光束转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求a、b的值； (2)如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，若，求的度数； (3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 5．如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC＝20，AB＝8，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿B→A→ D的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．以PQ为边向右上方作正方形PQMN，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点 P、Q同时出发，运动时间为t秒（t＞0）． （1）AP＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在AD边上时，求t的值； （3）当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形． 6．如图，在矩形中，，，点从点出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知点、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)_________，_________； (2)当为何值时，； (3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)当点关于点的对称点落在的内部（不包括边上